Les espaces solides sont contractables localement

Question

J'ai une question en lisant The Topology of Fiber Bundles de Steenrod , section 12.

Un espace $Y$s'appelle solide si, pour tout espace normal$X$, sous-ensemble fermé $A$ de $X$et carte $f:A\to Y$, il existe une carte $f':X\to Y$ tel que $f'|_A=f$.

Laisser $Y$ être solide de telle sorte que $Y\times I$Est normal. Fixer un point$y_0\in Y$. Notez que$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ est un sous-ensemble fermé de $Y\times I$. Définir$f:A\to Y$ par $f(y,0)=y$, $f(y,1)=y_0$ et $f(y_0,t)=y_0$. Puis solidité de$Y$ implique que $f$ étend à $f':Y\times I\to Y$. Maintenant$f'$ est une homotopie de $\textrm{id}_Y$ à la carte constante $Y\to y_0$. Donc$Y$est contractable. Depuis$y_0$ est arbitraire, il s'ensuit également que $Y$ est contractable localement.

Je ne vois pas pourquoi $Y$est contractable localement. Comment cet argument montre-t-il que chaque point de$Y$ ont de petits quartiers arbitraires contractables localement?

Answer 1

Une notation plus courante pour un espace solide est "extenseur absolu pour les espaces normaux".

Votre construction de $f'$ montre que $(Y,y_0)$est pointu contractible pour chaque$y_0 \in Y$. Cela implique immédiatement que

Pour chaque quartier ouvert $U$ de $y_0$ dans $Y$ il existe un quartier ouvert $V$ de $y_0$ dans $Y$ contenu dans $U% $ de telle sorte que l'inclusion $V \hookrightarrow U$ est nul-homotopique.

Si cette propriété est satisfaite, $Y$est appelé localement contractable à$y_0$. Si$Y$est localement contractable en tous ses points, il est appelé localement contractable .

C'est la définition standard. L'exigence que chacun$y_0 \in Y$a des quartiers contractibles arbitrairement petits (ouverts) est plus fort et je doute que ce soit vrai pour tous les extenseurs absolus. Vous devriez vérifier la définition de Steenrod.

Voir aussi ANR est contractable localement .