Les homomorphismes préservent-ils l'ordre des sous-groupes ?

Question

J'ai lu que le seul homomorphisme possible de$\mathbb{Z}_7$à$\mathbb{Z}_{12}$est celui qui cartographie tous les éléments de$\mathbb{Z}_7$à$\{0\}$. Puisque s'il existe un autre homomorphisme de$\mathbb{Z}_7$à$\mathbb{Z}_{12}$, il doit être capable de cartographier n'importe quel sous-groupe non trivial de$\mathbb{Z}_7$, à un sous-groupe de$\mathbb{Z}_{12}$. Cependant, cela signifie que$\mathbb{Z}_{12}$aurait un sous-groupe d'ordre$7$, ce qui est impossible.

Je suppose que ce qui est sous-entendu dans la déclaration ci-dessus est que les homomorphismes préservent l'ordre des sous-groupes ... mais est-ce vrai en général?

Answer 1

Ce n'est pas vrai en général. Laisser$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$donné par$f(x)=2x$. La carte$f$est clairement un homomorphisme mais il ne préserve pas l'ordre du groupe lui-même.

Je pense que cette affirmation signifie, puisque seuls des sous-groupes de$\mathbb Z_7$sommes$\{0\}$et le groupe lui-même, noyau de tout homomorphisme non trivial est$\{0\}$et donc tout homomorphisme non trivial est injectif. Ça signifie$\mathbb Z_7$est isomorphe à l'image de lui-même mais cela ne peut pas arriver puisque l'image d'un homomorphisme est un sous-groupe de$\mathbb Z_{12}$et ce groupe n'a pas de sous-groupe d'ordre$7$.