Les modules dg sont-ils sur un cofibrant de catégorie dg cofibrant?
Fixer un anneau commutatif $k;$ toutes les catégories dg seront des catégories dg sur $k.$Tout au long de la question, je suivrai la notation et les conventions de Toën " La théorie de l'homotopie des catégories dg et la théorie dérivée de Morita ". Pour une catégorie dg$C,$ laisser $[C]$ être la catégorie dont les objets sont les mêmes que les objets de $C,$ et dont les morphismes sont définis par $\operatorname{Hom}_{[C]}(X,Y) := H_0(C(X,Y)).$
Laisser $F : C\to D$ être un dg-foncteur entre les dg-catégories, et rappelez-vous que:
- $F$est quasi-entièrement fidèle si pour tous$X,Y\in C,$ $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ est un quasi isomorphisme,
- $F$est quasi-essentiellement surjectif si$[F] : [C]\to [D]$ est essentiellement surjectif,
- $F$est une quasi-équivalence si elle est quasi-entièrement fidèle et quasi-essentiellement surjective.
- $F$est une fibration si elle remplit les deux conditions suivantes:
- Pour tous $X,Y\in C,$ le morphisme $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ est une fibration dans la catégorie $\mathsf{Ch}(k)$ de complexes de chaînes sur $k$ (c'est-à-dire une surjection), et
- Pour tous $X\in C,$ étant donné tout isomorphisme $v : [F](X)\to Y'\in [D],$ il existe $Y\in C$ et un isomorphisme $u : X\to Y$ dans $[C]$ tel que $[F](u) = v.$
Rappelez-vous qu'il existe une structure modèle sur la catégorie $\mathsf{dgCat}_k$ des catégories dg sur $k$ et dg-foncteurs entre eux, avec des fibrations telles que définies ci-dessus, et avec des équivalences faibles données par les quasi-équivalences.
Pour une catégorie dg $C,$ définir aussi la catégorie dg $\widehat{C}$ être la sous-catégorie complète de $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ constitué des objets fibrant et cofibrant, où nous définissons les fibrations et les équivalences sur $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ être les foncteurs qui sont des fibrations par niveau et des équivalences dans $\mathsf{Ch}(k).$
Ma question est: supposons que $C$est une catégorie dg cofibrant. Alors sont l'un ou l'autre des$\widehat{C}$ ou alors $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ cofibrant dg-categories?
Premièrement, il est facile de montrer que $C$ est cofibrant si et seulement si $C^{\textrm{op}}$est. En utilisant cette observation, le seul moyen auquel j'ai pensé pour obtenir une carte$F : \mathsf{dgMod}_{C}\to A$ (ou alors $\widehat{C}$) lever un foncteur $\mathsf{dgMod}_C\to B$ le long d'une fibration triviale $A\to B$ consiste à utiliser l'incorporation Yoneda $$ \begin{align*} h^{-}:C^{\textrm{op}}&\to \widehat{C}\\ X&\mapsto\left(\begin{array}{lll} h^X:&C&\to\mathsf{Ch}(k) \\ &Y&\mapsto C(X,Y) \end{array}\right) \end{align*} $$ et écrivez n'importe quel module dg $M$ comme une colimite de foncteurs représentables $M\cong\varinjlim_i h^{X_i}$ définir $$F(M) := \varinjlim_i G(X_i),$$ où $G : C^{\textrm{op}}\to A$ est un ascenseur du composite $$C^{\textrm{op}}\to \mathsf{dgMod}_C\to B$$ le long de $A\to B.$
Cependant, il y a quelques problèmes avec la stratégie: premièrement, $A$pourrait ne pas avoir de colimites! Même si$A$ avait des colimits appropriés, cela ne définirait que $F$ au niveau des objets, et il semble que $A\to B$devrait faire la navette avec des colimits pour que cela soit raisonnable. Y a-t-il un moyen de sauver cette stratégie, et sinon, y a-t-il une autre façon d'aborder cela?
Edit: Pour ajouter mon objectif principal en posant cette question, je pose la question dans le prolongement de ma question précédente sur le fait de montrer que la catégorie dérivée de l'infini fait la navette en prenant des pushouts. J'y ai reçu une belle réponse traitant de la situation dans le$\infty$-catégorie, mais j'espérais en trouver une preuve dans le cas des dg-categories qui ne passaient pas par le $\infty$-langage catégorique. Le croquis de preuve que j'ai trouvé exigeait que la catégorie des modules dg sur un cofibrant dg-catégorie / algèbre soit cofibrant afin de calculer les produits tensoriels dérivés qui surviennent.
Réponses
Ma question est: supposons que C soit une catégorie dg cofibrant. Alors, est-ce que Ĉ ou dgMod_C ^ op cofibrant dg-categories?
Un objet cofibrant dans une catégorie de modèle généré par cofibrant (comme dgCat) est un retrait d'une composition transfinie de changements de cobase générant des cofibrations. La génération de cofibrations de dgCat sont des foncteurs entre de petites catégories (voir, par exemple, (4.7) et (4.13) dans arXiv: 1201.1575 ), et le changement de cobase, la composition transfinie et les rétractations préservent cette propriété. Puisque dgMod_C ^ op et Ĉ ont tous deux une classe d'objets propre (et même une classe propre de classes d'objets d'équivalence faibles), il n'y a aucun moyen de transformer dgMod_C ^ op ou Ĉ en catégories dg cofibrant.