Les propriétés de la fonction convexe sur l'intervalle unitaire fermé $[0,1]$.

Question

Considérons une fonction continue et convexe $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$. Je me demande si

1. $F(x)$ est continuellement différenciable en $[0,1]$

2. $F(x)$ est de variation limitée dans $[0,1]$

3. $F(x)$ est absolument continue dans $[0,1]$.

Le second est correct, en raison de ce post Prouver qu'une fonction convexe est de variation bornée .

Cependant, les deux autres sont devenus mystérieux pour moi. Le chapitre 6 de Royden y répond si nous avons un intervalle ouvert.

Corollaire 17: Soit $\varphi$ être une fonction convexe sur $(a,b)$. ensuite$\varphi$ est Lipschitz, et donc absolument continue sur chaque sous-intervalle fermé et borné $[c,d]$ et $(a,b)$

Théorème 18: Soit $\varphi$ être une fonction convexe sur $(a,b)$. ensuite$\varphi$ est différenciable sauf à un nombre dénombrable de points.

D'après le théorème 18, il est difficile de croire que $F(x)$ deviendra différenciable en $[0,1]$. Mais je ne trouve pas de contre-exemple. Autrement dit, une fonction convexe qui est continue sur$[0,1]$ mais n'est pas différenciable.

Le Corollaire 17 nous donne un résultat assez sympa, mais il semble qu'il ne s'applique pas à l'intervalle fermé. Est-il possible de dire que si nous avons$F(x)$ sur $[0,1]$ est convexe, alors il sera convexe sur $(-\epsilon, 1+\epsilon)$? puis nous pouvons utiliser le corollaire 17 pour conclure qu'il est absolument continu sur$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$.

Je vous remercie!

Answer 1

Étant donné les nombres réels $a<b$, montrons qu'une fonction continue et convexe $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$est absolument continue. Depuis$F$ est une fonction continue sur un ensemble compact $[a,b]$ il atteint son minimum à un moment donné $c\in [a,b]$. Convexité de$F$ implique que $F$ n'augmente pas sur $[a,c]$ et non dégressif sur $[c,b]$. Il suffit donc de considérer un cas où$F$ est monotone sur $[a,b]$.

Laisser $\varepsilon>0$être n'importe quel nombre. Depuis la fonction$F$ est continue à $a$ et $b$, Il existe $0<\delta'<|b-a|$ tel que si $x,y\in [a,b]$ et $|x-a|\le\delta’$, $|y-b|\le\delta’$ puis $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$ et $|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$. La monotonie de$F$ implique que pour toute famille $(x_n,y_n)$ d'intervalles ouverts disjoints contenus dans $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ nous avons $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$.

Par corollaire 17, $F$ est absolument continu sur $(a+\delta’, b-\delta’)$, donc il existe un nombre réel $\delta\le \delta’$ telle que pour toute famille finie $(x_n,y_n)$ d'intervalles ouverts disjoints contenus dans $(a+\delta’, b-\delta’)$ de la longueur totale au plus $\delta$ nous avons $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$.

Ce qui précède implique facilement que toute famille finie $(x_n,y_n)$ d'intervalles ouverts disjoints contenus dans $[a, b]$ de la longueur totale au plus $\delta$ nous avons $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$.