les quatrièmes moments des variables de variance unitaire tronquées sont sommables

Question

Dans un article, j'ai trouvé ce qui suit:

Si $X$ est une RV avec une moyenne nulle et une variance finie, alors $$ \sum_N \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right]<+\infty $$

et j'ai du mal à comprendre comment le prouver. J'ai essayé de faire l'estimation classique, c'est-à-dire$$ \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N \mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N $$Mais ce n'est pas assez. Je suppose que je peux avoir$o(N)$, mais ce n'est toujours pas suffisant.

J'ai aussi essayé de trouver un contre-exemple, mais par exemple une distribution continue avec une densité avec queue $O(x^{-k})$ Besoins $k>3$ avoir une variance finie, qui coïncide avec la condition pour obtenir la sommabilité.

Et si $X$ a une distribution avec support compact, alors tous les moments sont bornés par une même constante, donc la sommabilité suit.

Answer 1

Ok, je l'ai probablement.

$$ \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] = \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \sum_{n=1}^{N}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\sum_{N=n}^{\infty} \frac 1 {N^2} \\ \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac 2n\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ \le \sum_{n=1}^{\infty}2\mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right] = 2 \text{Var}(X) <+\infty $$