Les systèmes incohérents peuvent-ils être mathématiquement intéressants / utiles?
Selon la première réponse à cette question:
En faisant des mathématiques, nous avons souvent une idée d'un objet que nous souhaitons représenter formellement, c'est une notion . Nous écrivons ensuite des axiomes pour décrire cette notion et essayons de voir si ces axiomes sont auto-contradictoires. S'ils ne le sont pas (ou si nous ne pouvons pas prouver qu'ils le sont), nous commençons à travailler avec eux et ils deviennent une définition . Les mathématiciens sont guidés par la notion mais ils travaillent avec la définition. Rarement la notion et la définition coïncident, et vous avez un objet mathématique qui est exactement ce que notre intuition [des mathématiciens] nous dit qu'il devrait être.
Formaliser nos intuitions mathématiques semble être une affaire délicate, d'autant plus que nos intuitions sont souvent elles-mêmes contradictoires, conduisant à toutes sortes de paradoxes véridiques déroutants. En outre, Gödel a montré qu'il ne peut se faire d'une manière qui est à la fois cohérente et complète, donc quand nous faisons trouver une formalisation non contradictoire, nous devons sacrifier l' exhaustivité.
Mais que se passe-t-il si nous abandonnons la cohérence à la place? Des systèmes incohérents plutôt que cohérents pourraient nous permettre de formaliser nos intuitions (souvent incohérentes) de manière plus réaliste, même si c'est aussi moins utile.
Malheureusement, le principe de l'explosion semble impliquer qu'un tel système est fondamentalement dénué de sens car chaque affirmation serait à la fois vraie et fausse. Cependant, il pourrait y avoir un moyen de contourner cela. Par exemple, nous pourrions restreindre les règles d'inférence logique de manière à empêcher le principe d'explosion. Ou nous pourrions limiter toutes les preuves en dessous d'une certaine longueur (correspondant au nombre limité d'étapes intuitives qu'une personne peut tenir dans sa tête en même temps).
Cela a-t-il déjà été essayé? Pourrait-il être éclairant / utile comme modèle d'intuition mathématique humaine?
REMARQUE: D'un point de vue philosophique plutôt que mathématique, de nombreuses religions / systèmes de pensée sont heureux de sacrifier la cohérence pour s'adapter aux contradictions inhérentes à l'intuition humaine. Le bouddhisme zen est probablement l'exemple le plus connu, et le taoïsme fait quelque chose de similaire, bien que moins extrême. Je lisais aussi le livre «Orthodoxie» de GK Chesterton dans lequel il décrit son système de croyance (il est chrétien), et il affirme que l'adhésion totale à la logique et à la raison conduit à la folie et aux conséquences absurdes, et ne parvient pas à saisir la richesse de la contradiction dans pensée et réalité.
Réponses
Oui, de tels systèmes ont en effet été étudiés - les termes clés incluent «logiques paraconsistantes» et «logiques de pertinence». Re: sources, Chris Mortensen a écrit un article de synthèse et un livre sur le sujet, bien que ce dernier ait quelques problèmes (voir ici ).
Un autre terme important ici est «dialethéisme». Très grossièrement, les logiques paraconsistantes etc. sont paradoxales tolérantes en ce sens que pour une théorie dans une telle logique, une simple incohérence n'implique pas de trivialité. Le dialethéisme est la position philosophique selon laquelle il y a de vraies contradictions. Graham Priest a beaucoup écrit sur le sujet (voir par exemple ici ).
Cela dit, je ne suis pas vraiment au courant des tentatives plausibles pour contourner le premier théorème d'incomplétude de cette façon: je ne connais aucun candidat naturel pour une théorie dans une logique paraconsistante qui est axiomatisable de manière calculable, contient $\mathsf{Q}$en tant que sous-théorie (disons), est complète et n'est vraisemblablement pas triviale. Nous pouvons cependant contourner le deuxième théorème d'incomplétude dans un sens faible: le livre de Mortensen discute d'une arithmétique de pertinence particulière qui contient le premier ordre classique$\mathsf{PA}$ mais dont la non-trivialité est $\mathsf{PA}$-prouvable. (Puisque la non-trivialité n'implique pas de cohérence dans ce contexte, cela ne viole pas réellement le deuxième théorème d'incomplétude.) Une autre application notable est la capacité de la logique paraconsistante à donner un sens à la théorie naïve des ensembles; voir par exemple ici .