Les vecteurs propres d'une matrice symétrique réelle sont-ils tous orthogonaux?
Comme je l'ai appris en algèbre linéaire, une vraie matrice symétrique $A$ a toujours des vecteurs propres orthogonaux donc $A$ est orthogonalement diagonalisable. Mais les vecteurs propres d'une matrice symétrique réelle sont-ils tous orthogonaux?
En réalité, $A$ est diagonalisable afin que nous puissions trouver des inversibles $P$ et $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Mais je ne peux pas prouver $P$ est orthogonal, je ne trouve que $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Alors $P^{T}PS=SP^{T}P.$Cela ne peut pas montrer que $P^{T}P=I_{n}.$
Alors c'est ça $P$orthogonal? Sinon, quelle est sa relation avec les vecteurs propres orthogonaux?
Au fait, j'ai rencontré ce problème lorsque je lisais une note de cours.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
Je pense que sa façon de prouver que toute matrice symétrique a des vecteurs propres orthogonaux est fausse.
Toute aide sera remerciée.
Réponses
Le théorème dans ce lien disant $A$"a des vecteurs propres orthogonaux" doit être énoncé beaucoup plus précisément. (Il n'y a pas de vecteur orthogonal, donc dire que les vecteurs propres sont orthogonaux n'a pas vraiment de sens. Un ensemble de vecteurs est orthogonal ou non, et l'ensemble de tous les vecteurs propres n'est pas orthogonal.)
Il est évidemment faux de dire que deux vecteurs propres sont orthogonaux, car si $x$ est un vecteur propre alors $2x$. Ce qui est vrai, c'est que les vecteurs propres correspondant à différentes valeurs propres sont orthogonaux. Et c'est trivial: supposons$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. ensuite$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$alors $x\cdot y=0$.
Est-ce que ce pdf est faux? Il y a de sérieux problèmes avec l' énoncé du théorème. Mais en supposant que ce qu'il signifie réellement est ce que je dis ci-dessus, la preuve est probablement juste, car c'est si simple.
En effet, vous ne pouvez pas prouver qu'une matrice qui diagonale $A$ est orthogonal, car c'est faux.
Par exemple, prenez $A=I$(la matrice d'identité). Toute matrice inversible$P$ diagonale $I$, mais bien sûr $P$ n'a pas besoin d'être orthogonal.
Si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes (où $A$ est $n\times n$), alors l'énoncé est vrai, car les vecteurs propres correspondant à différentes valeurs propres sont orthogonaux (voir la réponse de David C. Ullrich ).
Sinon, vous devez prendre une base de vecteurs propres; alors, pour chaque valeur propre$\lambda$, vous prenez les vecteurs propres dans la base correspondant à $\lambda$et orthogonalez-le. Ensuite, vous obtenez une base orthogonale de vecteurs propres.
Et oui, la preuve dans les notes de cours est fausse: utiliser $A=I$, l'argument prouverait que toute matrice inversible est orthogonale, ce qui est évidemment faux.