Lié à la valeur singulière

Aug 18 2020

Laisser$M \in \mathbb{R}^{d\times d}$être une matrice antisymétrique. Existe-t-il une borne inférieure/supérieure ou une égalité reliant les deux quantités$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$Le membre de droite est le carré de la plus petite valeur singulière de$A$. Remarquez également que$u^* A u$doit être de l'imaginaire pur alors que$u^* A^T A u$doit être réel.

En effet, le commentaire ci-dessous par Stephen montre que le membre de gauche est nul. Qu'en est-il des matrices générales$A$, pas nécessairement antisymétrique ?

Réponses

chaos Aug 22 2020 at 16:00

Merci Stephen d'avoir souligné l'inégalité de Cauchy-Scharz : nous avons$$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$pour le vecteur normal$u$et matrice réelle$A$, Par conséquent$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$pour toute matrice réelle$A$. Le membre de gauche est nul pour antisymétrique$A$.