Métrique inverse pour la décomposition 3 + 1

Aug 16 2020

J'essayais de lire à propos de la décomposition 3 + 1 de l'espace-temps dans la section 12.2 du livre de Padmanabhan Gravitation Foundations and Frontiers. Cependant, d'autres sources peuvent également fournir le contexte de ma question.

Une fois le système de coordonnées $(t,y^\alpha)$ a été adopté sur l'espace-temps de la foliation, $x^a=x^a(t,y^\alpha)$, alors nous pouvons écrire (le livre utilise également la convention $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ ou les indices latins représentent l'espace-temps et les indices grecs uniquement l'espace), \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} Où nous avons utilisé le fait que la tangente aux courbes paramétrées par $t$ est $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; et$N$s'appelle la fonction de déchéance et$N^\alpha$est appelé le vecteur de décalage .$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ sont la tangente à l'hypersurface appelée tétrades.

L'élément de ligne (au carré) devient maintenant, \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} ici, \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} La métrique peut être lue à partir de l'élément de ligne ci-dessus, \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} Sous forme matricielle, \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}

Ma question est de savoir comment calculer l'inverse de cette métrique?

J'ai essayé de le faire mais je n'ai pas réussi sauf pour le composant $g^{00}$et je ne sais pas si cette dérivation est correcte. Permettez-moi donc de décrire le processus ci-dessous.

Maintenant, comme $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ dans le système de coordonnées $(t,y^\alpha)$. Donc,\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} Où j'ai utilisé le fait que les vecteurs normaux sont définis comme $n_a=-N\partial_a t$ et la normalisation des hypersurfaces spatiales est telle que $n^an_a=-1$.

Dans le livre, les composantes de la métrique inverse sont données comme suit: \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}

Par conséquent, la réponse que je recherche est la dérivation étape par étape de la métrique inverse étant donné les composants de la métrique et il faut également vérifier si mon calcul pour $g^{00}$est correct. Je vous remercie.

Réponses

2 VacuuM Aug 22 2020 at 09:58

Laissez-moi le faire une fois pour toutes. Bien que spiridon ait répondu à la question, je voudrais donner une dérivation formelle car la réponse de spiridon implique un travail de conjecture. Nous avons une situation où nous devons calculer l'inverse d'une matrice partitionnée. Dérivons donc d'abord une formule générale pour l'inverse des matrices partitionnées, puis nous l'appliquerons à la métrique.

Soit deux non singuliers $n\times n$ matrices $A$ et $B$ être partitionné comme suit, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} Laisser $A_{11}$ et $B_{11}$ être $k\times k$ matrices avec $k<n$. Nous supposerons également,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Maintenant si $B=A^{-1}$, alors nous trouverons les matrices composantes de $B$ en termes de matrices de composants de $A$. Nous avons,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Cette relation matricielle se réduit à, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} De (2) et (3) nous avons, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} En les remplaçant par (1) et (4), nous obtenons, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Par conséquent, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Maintenant, en les remplaçant par (2) et (3), nous obtenons, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Par conséquent, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Pour notre objectif, il serait pratique de développer, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$en termes d' identité de matrice de Woodbury . Tout d'abord, dérivons l'identité. Notez que,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Cela implique, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}étant donné que tous les inverses requis existent! Ensuite,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Donc, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}L'identité ci-dessus est appelée l' identité de la matrice de Woodbury . Maintenant, identifier$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ et $V=A_{12}$, on a, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Par conséquent, nous avons enfin, \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}Après avoir dérivé cette formule générale, revenons au calcul de l'inverse de la métrique. Nous avons,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} Maintenant, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} Nous notons également que, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Ensuite,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} et \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} et enfin, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}Voila! Prendre plaisir!

5 spiridon_the_sun_rotator Aug 16 2020 at 10:25

Eh bien, il existe peut-être une manière plus claire de le faire, sans deviner. Je partirais de la définition d'une matrice inverse:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ Ou plus concrètement: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Écrit en composants: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Maintenant, en utilisant la symétrie de $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ en échange de $\mu \leftrightarrow \nu$, on peut voir, qu'il y a $ D(D+1) / 2$ équations linéaires sur le même nombre d'inconnues, qui peuvent en principe être résolues.

Faire cela directement semble une tâche fastidieuse, il peut donc y avoir une supposition éclairée. En supposant que nous savions que$g^{00}$ est $-N^2$, en général ansatz pourrait être $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, puis la première équation est immédiatement résolue en définissant: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$Ensuite, on peut regarder sur la deuxième ligne. Il est également naturel de supposer que$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, où $b^{\mu \nu}$est également symétrique. Cette substitution donne:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Ici aussi, on peut voir que le $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ Fait le travail.

1 haelewiin Aug 18 2020 at 21:14

Cette réponse étend légèrement celle de spiridon et reformule certaines parties de la configuration d'OP dans un langage légèrement différent.

La métrique inverse $g^{-1}$, étant un tenseur, est indépendant des coordonnées. Ainsi, une manière de déterminer les composantes de la métrique inverse dans un système de coordonnées particulier consiste à la dériver à partir d'une représentation indépendante des coordonnées. À savoir, si la métrique inverse dans une base$\{{\bf e}_a\}$ est donné par $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ alors ses composantes sont données par l'action de $g^{-1}$ sur la double base $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ La décomposition 3 + 1 de l'espace-temps est réalisée par les surfaces de niveau (vraiment hypersurfaces) d'un champ scalaire $f$. Une unité normale est$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. De l'unité normale$n^a$ on peut construire des projecteurs en parallèle ($P_\parallel$) et orthogonale ($P_\perp$) à lui. Leurs composantes sont données par les expressions$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ Avec ces projecteurs, on peut déterminer les composants de la métrique $g_{ab}$ en termes de foliation en hypersurface: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ Le champ tenseur $h_{ab}$est la métrique induite sur les hypersurfaces, car chaque contraction de celle-ci avec l'unité normale disparaît. De même on peut vérifier que les composantes de la métrique inverse satisfont$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ Sur une hypersurface donnée $f=t$, on introduit un ensemble de coordonnées à un paramètre $y^\alpha$ qui varient en douceur en fonction de $t$. Cela génère un ensemble de champs vectoriels$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$tangentielle à l'hypersurface, qui sert de carte d'incorporation de l'hypersurface à l'espace-temps. En particulier, la métrique induite peut être exprimée en termes de ces nouvelles coordonnées via la relation$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. Dans ce système de coordonnées, le vecteur temps$t^a$ n'est généralement pas orthogonale à l'hypersurface, mais peut être décomposée en orthogonale $N$ et tangentiel $N^\alpha$ les pièces: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Notez que $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ est double du vecteur temps $t^a$. La substitution de \ eqref {décomposition} en \ eqref {inverse} donne alors$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ Les composantes de la métrique inverse dans le système de coordonnées donné peuvent alors être trouvées par contraction: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

Références:

  • E. Poisson (2007), Une boîte à outils relativiste - chapitres 3, 4
  • E. Gourgoulhon (2012), 3 + 1 Formalism and Bases of Numerical Relativity - chapitres 2, 3