Modèle de marché LIBOR avec volatilité stochastique
J'ai lu qu'il existe 3 types de modèles de tarification: la volatilité locale, la volatilité stochastique et les modèles de volatilité stochastique-locale (LSV).
Je regarde maintenant les modèles de tarification des taux d'intérêt exotiques et je vois que le modèle de marché LIBOR (LMM) est la norme du marché pour les exotiques simples. Mais étant donné que ce modèle ne peut pas convenir au sourire puisque vous simulez simplement tous les taux à terme sous la même mesure, via une série de corrections de dérive, la solution consiste à ajouter de la volatilité stochastique à LMM pour évaluer des structures plus complexes.
Mais comment classeriez-vous ce modèle étant donné que nous pouvons avoir des modèles vol locaux ou stochastiques (ou un mélange des deux, comme dans LSV)? Le LMM avec volatilité stochastique relève-t-il de la catégorie LSV?
Réponses
Oui, une SDE de volatilité stochastique peut être couplée à n'importe quelle SDE sous-jacente (GBM, diffusion, retour de moyenne, LMM, etc.).
Une fois la volatilité stochastique présente, le modèle gagne le droit d'être qualifié de «modèle SV».
Dans son nom, on peut vouloir spécifier les noms des deux SDE, comme dans l'exemple SABR LMM trouvé ici , ou simplement l'appeler LMM avec l'extension SV.
De même, LMM avec extension LV (le LMM décalé en fait partie), LMM avec extension LSV, etc.
Remarque: Une SDE couplée générique étendant LMM serait:
$$ dL^n_t = v_t^\gamma \phi(t, L^n_t) \lambda_n(t)^\intercal dW^{T_{n+1}}_t $$ $$ dv_t = \kappa (\theta -v_t) dt + \eta(t) \psi(v_t) dB_t $$
Ainsi, la classification LV, SV et LSV dépendrait des valeurs de $\gamma$ (d'habitude $0$, $0.5$, ou $1$) et les formes de $\phi$ (dépendant de l'état et peut-être aussi dépendant du temps, éventuellement d'une manière non séparable).