Mon procès pour montrer ça $K[[x]]$ sur un champ se trouve un anneau local.

Nov 19 2020

Voici la question à laquelle je veux répondre à la lettre $(b)$ dedans:

Un anneau commutatif $R$ est local s'il a un idéal maximal unique $\mathfrak{m}.$ Dans ce cas, nous disons $(R, \mathfrak{m})$est un anneau local. Par exemple, si$R$ est un champ, alors $(R,(0))$ est un anneau local, puisque le seul idéal propre d'un champ est $(0).$

$(a)$ Laisser $(R, \mathfrak{m})$être un anneau local. Montre CA$R^* = R\setminus \mathfrak{m}.$

$(b)$ Montrez ça, pour un champ $K,$ $R = K[[x]]$ est un anneau local.

Indice: selon la pièce $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ Et tu sais quoi $R^*$ est.

Mes questions sont:

Je connais déjà la preuve pour lettre $(a).$ En outre, j'ai prouvé à fond avant cela:

Si $R$ être un domaine intégral et laisser $R[[x]]$ être l'anneau correspondant des séries de puissance formelles, alors $R[[x]]$est un domaine intégral. et$R[[x]]^*$ se compose de la série $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ tel que $a_{0} \in R^*.$

Et j'ai l'indication suivante donnée pour résoudre ma question:

Indice: selon la pièce $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ Et tu sais quoi $R^*$ est.

1-Mais je ne comprends pas comment l'utiliser. Quelqu'un pourrait-il me montrer comment puis-je utiliser cet indice s'il vous plaît?

Aussi, j'ai compris que je devais prouver que $K[[x]]$ a un idéal maximal unique.

Et selon l'indice donné ici par Arthur:

L'ensemble des séries de puissance formelles sur un champ est un anneau local? lequel est:

"Astuce: prenez un élément avec un terme constant non nul, et construisez un inverse explicite, degré par degré (ou du moins montrez que cela peut être fait, en trouvant les trois premiers termes de l'inverse et faites remarquer que vous pouvez continue indéfiniment). Cela montre que $(x)$ est le seul idéal maximal. "

Je devrais construire un inverse explicite d'un élément $x$ avec un terme constant non nul et ce sera le seul idéal maximal $<x>$.

2-Je ne sais pas quelle est explicitement la forme de cet idéal et je ne sais pas comment prouver que c'est le seul idéal maximal, quelqu'un pourrait-il m'en montrer la preuve s'il vous plaît?

Voici ma preuve détaillée pour $R[[x]]^*$ se compose de la série $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ tel que $a_{0} \in R^*.$

Laisser $R$ un domaine intégral (anneau de division commutative sans diviseur nul), et soit $R[[x]]$être l'anneau correspondant des séries de puissance formelles. c'est à dire$$\displaystyle R[[x]]=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\;\middle\vert\; a_n\in R\right\}$$ Avec addition et multiplication comme défini pour les polynômes.

\ textbf {Premièrement: montrer que si $a_0\in R$ est une unité, alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ est une unité dans $R[[x]]$}

Laisser $a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in R[[x]]$, où $a_0$est une unité. Nous voulons en construire$b=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\in R[[x]]$ tel que $ab=1$, ou après l'expansion, $$ab=a_0b_0+(a_1b_0+a_0b_1)x+\cdots=1+0x+0x^2+\cdots \quad \quad (1)$$ Nous avons donc besoin $b_0=a_0^{-1}$ (rappeler que $a_0$est une unité par le donné). Nous voulons avoir$a_1b_0+a_0b_1=0$, donc notre seul choix pour $b_1$ est $$b_1=\frac{-a_1b_0}{a_0}=-a_1a_0^{-2}.$$Aussi, nous voulons $a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2=0$, donc nous devons avoir $$b_2=\frac{-a_2b_0-a_1b_1}{a_0}=-a_2a_0^{-2}+a_1^2a_0^{-3}.$$ Donc, pour trouver une définition récursive de $b_{n}$ nous utiliserons la définition de la multiplication dans l'anneau des séries formelles de puissance, nous avons que $$\sum_{n = 0}^{\infty}a_n x^n . \sum_{n = 0}^{\infty}b_n x^n = \sum_{n\geq 0} (\sum_{i=0}^{n} a_{i} b_{n-i})x^n = a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots .$$ Maintenant, nous avons besoin dans notre problème ici $ab = 1,$ c'est à dire $$ a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots = 1, $$ Nous avons donc besoin que tous les termes, sauf le terme constant, disparaissent.

Supposons que pour un nombre naturel $n,$ on sait que les coefficients de $b$ sont différents de zéro jusqu'à $(n-1),$ puis le $n^{th}$ coefficient de $ab$est zéro. Alors, on peut écrire$$0 = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0},$$Ou équivalent, $$ a_{0}b_{n} = -( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}),$$Par conséquent, $$ b_{n} = \frac{-1}{a_{0}}( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}) = \frac{-1}{a_{0}} (\sum_{i=1}^n a_{i} b_{n-i}). $$Et c'est la relation de récursivité décrivant les coefficients $b_{n}$ de $b$ cela fera $b$ un inverse de $a.$

\ textbf {Deuxième: montrer que si $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ est une unité dans $R[[x]]$ puis $a_0\in R$ est une unité}

Suppose que $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ est une unité dans $R[[x]]$ et nous voulons montrer que $a_0\in R$ est une unité.

Depuis $a$ est une unité, alors $\exists b = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n\in R[[x]]$ tel que $ab =1.$ Mais cela signifie que $(a_0 + a_1 x+\cdots)(b_0 + b_1 x+ \cdots)=1+0x+\cdots$ alors $a_0b_0+ (a_1b_0+a_0 b_1)x+\cdots=1+0x+\cdots$ therefore $a_0b_0=1$ and hence $a_{0}$ is a unit as required.

Réponses

2 PQH Nov 19 2020 at 19:39

Using your hint, $M=K[[x]]\setminus K[[x]]^*$ is the candidate for the unique maximal ideal. Now, $M$ is the set of formal power series with constant term equal to zero. That means that your elements in $M$ have the form $$a=a_1x+a_2x^2+\cdots=x(a_1+a_2x+\cdots)=xb,$$ so they are in the ideal generated by $x$, which is denoted by $(x)$. Actually, $M=(x)$. This ideal is maximal since the quotient $K[[x]]/(x)=K$ is a field (you can think of the quotient, as the ring $K[[x]]$ with the condition that $x=0$, so you get $K$. Another way to see this, is taking the evaluation map $e_0:K[[x]]\rightarrow K$ that takes a formal power series and evaluate it at $0$. That is a homomorphism with kernel $(x)$). Finally, any ideal (maximal or not) which is not the entire ring, does not have invertible elements, that is, it is contained in $M$. Hence, $M$ is the only maximal ideal.