Montrant qu'un sous-anneau$K$de$\mathbb H$contient un champ isomorphe à$\mathbb C$

Question

Laisser$K$être un sous-anneau de$\mathbb H$, l'anneau des quaternions, avec$\mathbb R \subseteq K$et$\mathbb R \neq K$, là$\mathbb R$est l'anneau des nombres réels.
Montrer qu'il existe$x \in K$tel que$ x^2 = -1$. Utilisez ce fait pour en déduire que$K$contient un champ isomorphe à$\mathbb C$, l'anneau des nombres complexes.

Mes raisonnements :

Depuis$\mathbb R \subseteq K$mais$\mathbb R \neq K$, il devrait exister des$u \in \{i, j, k\}$, tel que$u \in K$, où$i, j, k$sont les unités quaternion et, en particulier, satisfont

$i^2=j^2=k^2=-1$

Cela m'est arrivé parce que, pour$K$être différent de$\mathbb R$, il doit contenir au moins une de ces unités. Si$K$contient en fait$u$, alors$u$est une solution de

$x^2=-1$

À ce stade, j'ai montré, si tout est correct, que$K$contient de tels$x$, mais je ne sais pas comment montrer la dernière partie de la question.

Je me suis demandé si je pouvais envisager

$\mathbb R[u]=\{a+ub:a,b \in \mathbb R\}$

Nous avons ça$\mathbb R[u] \subseteq K$, puisque$\mathbb R \subseteq K$et$u \in K$et$K$est un anneau.

Montrer que$\mathbb R[u]$est un corps et qu'il est isomorphe à$\mathbb C$, il serait "facile" d'utiliser des polynômes et des quotients, en fait on a

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Où$\mathbb R[x]$est l'anneau de polynômes sur$\mathbb R$et$(x^2+1)$est l'idéal principal engendré par le polynôme$x^2+1$, qui n'a pas de racines dans$\mathbb R$, le rendant maximal. Cet isomorphisme tient car$x^2+1$est le polyinôme minimal de$u$plus de$\mathbb R$.

Mais nous savons aussi que

$\mathbb C \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Où nous pouvons réellement voir$\mathbb C$comme$\mathbb R[i]=\{a+ib:a,b \in \mathbb R\}$.

Nous concluons que

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb C$

Maintenant, cette méthode peut être correcte ou non, mais ma vraie question est de trouver un moyen de le faire sans utiliser de quotients, d'idéaux maximaux et de propriétés "avancées" des polynômes sur un corps, car cet exercice est donné, dans mon cours, avant tous.

Answer 1

Comme il est bien connu,$\Bbb H$possède une base constituée de

$1 \in \Bbb R \tag 1$

et$i$,$j$,$k$tel que

$ij = k, \; jk = i, \; ki = j, \tag 2$

$i^2 = j^2 = k^2 = -1; \tag 3$

bien sûr, (2) et (3) ensemble impliquent que$i$,$j$,$k$anti-navette, à savoir :

$-j = i^2j = i(ij) = ik, \tag 4$

avec des arguments similaires montrant que

$ji = -k, \; kj = -i; \tag 5$

en utilisant (2)-(4) nous calculons$(ai + bj + ck)^2$, où$a, b, c \in \Bbb R$:

$(ai + bj + ck)^2 = (ai + bj + ck)(ai + bj + ck)$ $= a^2ii + b^2jj + c^2kk + abij + acik + abji + bcjk + acki + bckj$ $= -a^2 - b^2 - c^2 + ab(ij + hi) + ac(ik + ki) + bc(jk + kj)$ $= -(a^2 + b^2 + c^2) < 0, \tag 6$

fourni au moins un sur$a$,$b$,$c$ne disparaît pas. Cela donne

$\left ( \dfrac{ai + bj + ck}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = \dfrac{(ai + bj + ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1. \tag 7$

Maintenant si$K$est un sous-anneau de$\Bbb H$avec

$\Bbb R \subsetneq K \subset \Bbb H, \tag 8$

alors$K$doit contenir un élément$q \in\Bbb H$de la forme

$q = r + ai + bj + ck, \tag 9$

avec

$r, a, b, c \in \Bbb R, \tag{10}$

et au moins un de$a$,$b$,$c$non nul, une condition facilement considérée comme équivalente à

$a^2 + b^2 + c^2 > 0; \tag{11}$

puisque$K$est un sous-anneau et (8) implique

$r \in K, \tag{12}$

(9) rendements

$p = ai + bj + ck = q - r \in K, \tag{13}$

et d'après ce que nous avons vu plus haut

$\left (\dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = -1; \tag{14}$

maintenant à la lumière de (8) et (10),

$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K, \tag{15}$

Et ainsi

$u = \dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K \tag{16}$

avec

$u^2 = -1, \tag{17}$

comme indiqué ci-dessus en (14); ainsi le champ

$\Bbb R(u) \subset K, \tag{18}$

et en utilisant (17) il est facile de voir que les éléments de$\Bbb R(u)$sont tous de la forme$a + bu$,$a, b \in \Bbb R$, et donc la cartographie

$\Bbb R(u) \ni a + bu \mapsto a + bi \in \Bbb C \tag{19}$

définit un isomorphisme 'twixt$\Bbb R(u)$et$\Bbb C$; nous laissons au lecteur suffisamment engagé le soin de fournir les simples détails.

Nota Bene, mercredi 20 août 2020 23h24 PST : Nous observons que la démonstration ci-dessus indique qu'il existe de nombreuses sous-algèbres de$\Bbb H$contenant$\Bbb R$et isomorphe à$\Bbb C.$

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Answer 2

Votre point de départ est faux. Ce que vous savez, c'est qu'il existe un quaternion$a+bi+cj+dk$telle qu'au moins une parmi$b,c,d$est non nul.

Il n'y a aucune raison pour qu'un quaternion élémentaire doive être dans$K$.

Un exemple simple est$\mathbb{R}[q]$, où$q=(i+j+k)/\sqrt{3}$, qui est en fait un champ isomorphe à$\mathbb{C}$et ne contient aucun des$i,j,k$.

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Laisser$u\in K$,$u\notin\mathbb{R}$. Puis les quaternions$1,u,u^2,u^3,u^4$ne sont pas linéairement indépendants, car$\mathbb{H}$a la dimension quatre sur$\mathbb{R}$. Il existe donc un polynôme à coefficients réels qui s'annule en$u$. D'autre part, le polynôme peut être factorisé en facteurs irréductibles de degré un ou deux et, puisque les quaternions sont une algèbre de division, l'un des facteurs doit s'annuler à$u$. Un tel facteur doit être de degré deux, sinon$u$serait réel.

Sans perte de généralité, le polynôme est monique. Ainsi il y a$a,b\in\mathbb{R}$tel que$u^2+au+b=0$. Nous pouvons maintenant compléter le carré$$ \Bigl(u-\frac{a}{2}\Bigr)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 $$Notez que$b-a^2/4>0$, car$x^2+ax+b$est par hypothèse un polynôme irréductible. Régler$c=\sqrt{b-a^2/4}$et$v=(u-a/2)/c$; il découle des hypothèses que$v\in K$. Alors$c^2v^2+c^2=0$, Par conséquent$v^2=-1$.

Montrez maintenant que$\mathbb{R}[v]$est un champ. Comme c'est algébrique sur$\mathbb{R}$, il doit être isomorphe à$\mathbb{C}$.