Montre CA $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

Supposer $(X,\mathcal{A},\mu)$ est un espace de mesure et $f:X\to\mathbb{R}$est mesurable. Montre CA

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ définit une mesure sur le $\sigma$-algèbre de Borel sous-ensembles de $\mathbb{R}$
2. Montre CA $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ pour chaque fonction Borel $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

Ici, j'ai pu prouver la partie 1.
Mais j'ai du mal avec la partie 2.

Je sais que l'intégrale de $g$ est défini avec le suprimum des intégrales de fonctions simples $\phi\leq g$.

Donc , j'ai d' abord essayé de prouver le résultat des fonctions simples:
Ainsi laisser$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ être une fonction simple.

Alors $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
Et après cela, je ne vois pas de manière appropriée de procéder.

Apprécier ton aide

Answer 1

L'égalité des fonctions simples est prouvée dans les commentaires. Pour une fonction générale non négative, nous pouvons procéder comme indiqué ci-dessous.

Pour toute $g \geq 0$ il y a une séquence non décroissante$(\alpha_n)$de fonctions simples convergentes ponctuellement vers elle. On a alors:

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

Par théorème de convergence monotone, nous obtenons:

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$