Montrer qu'une suite de fonctions convergeant uniformément est Riemann intégrable. Et s'ils ne convergent que ponctuellement?

Dec 10 2020

Laisser $f_n$ être une suite de fonctions intégrables de Riemann sur $[a,b]$qui convergent uniformément vers une fonction f. Montrer que f est aussi Riemann intégrable. Ce qui se passe si$f_n$ ne converge que ponctuellement?

Compte tenu de ce scénario, montrez que

$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Je ne sais pas vraiment comment démarrer ce problème. S'ils convergent déjà vers une fonction, uniformément, cette fonction doit être continue, n'est-ce pas? Donc, c'est trivialement Riemann intégrable. Le cas ponctuel dont je ne suis pas sûr. Et puis la deuxième partie avec les limites, je ne sais pas trop comment s'y prendre. Toute aide est appréciée!

Réponses

2 RRL Dec 11 2020 at 00:21

On peut utiliser le critère de Riemann pour prouver que la limite uniforme $f$ d'une suite de fonctions intégrables de Riemann $(f_n)_n$ est également intégrable par Riemann.

Par convergence uniforme, pour tous $\epsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $n \geqslant N$ on a

$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$

Laisser $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$être une partition. Depuis$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ il s'ensuit que sur n'importe quel sous-intervalle de partition $I$,

$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$

Ainsi, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $

En additionnant tous les sous-intervalles de partition que nous obtenons pour les sommes de Darboux supérieures et inférieures,

$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$

et donc,
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$

Depuis $f_n$ est Riemann intégrable, il y a une partition $P$ tel que $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ et il s'ensuit que $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ prouvant que $f$ est Riemann intégrable.

Vous devriez maintenant pouvoir prouver par vous-même que la limite de la séquence d'intégrales est l'intégrale de la fonction limite en considérant que $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ uniformément pour tous $x \in [a,b]$.

2 Bargabbiati Dec 10 2020 at 21:11

Laisser $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ être les nombres rationnels dans l'intervalle $[0,1]$, et considérons les fonctions $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

le $f_n(x)$ sont Riemann-intégrables mais ils convergent vers la fonction de Dirichlet, qui n'est pas Riemann-intégrable.