Montrez qu'un groupe d'ordre $pq$ a un sous-groupe d'ordre $p$ et $q$ sans utiliser les théorèmes de Sylow et de Cauchy
Si $o(G)$ est $pq$, $p>q$ sont des nombres premiers, prouvez que $G$ a un sous-groupe d'ordre $p$ et un sous-groupe d'ordre $q$.
[Cette question vient de Herstein et elle vient avant le théorème de Sylow et Cauchy. J'attends donc une réponse sans utiliser aucun de ces éléments]
Voici ce que j'ai jusqu'à présent:
Si $G$ est cyclique alors on fait autrement, on peut supposer que ce n'est pas cyclique ce qui veut dire que tout élément non identitaire doit être d'ordre $p$ ou $q$.
Cas $(1)$ s'il existe $a\in G$ tel que $o(a) = p$ et s'il existe aussi un élément d'ordre $q$alors nous avons terminé. On peut donc supposer que chaque élément non identitaire est d'ordre$p$. Maintenant, choisissez$b\in G$ tel que $b\notin \langle a \rangle$ puis $o(b) = p$ et $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$
Nous avons donc $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ mais $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ mais $p^2 > pq$ [depuis $p>q$] nous avons donc une contradiction.
Donnez-moi un indice pour le deuxième cas et corrigez-moi si mon argument pour le premier cas est faux
Réponses
Supposons que chaque élément sans identité génère un groupe d'ordre cyclique $q$, le plus petit des nombres premiers.
La conjugaison est une relation d'équivalence sur un groupe. Ainsi, nous devrions être en mesure de partitionner le groupe en ses classes d'équivalence. La taille de la classe d'équivalence à laquelle appartient un élément est l'index du centralisateur de l'élément. Pourquoi? Réparer$x\in G$. Faire un homomorphisme à partir de$G \rightarrow G$ En envoyant $g \rightarrow xgx^{-1}$. La taille de la classe d'équivalence est l'ordre de l'image. Quel est le noyau de cette carte?
Si le centralisateur est en ordre $p$ ou $pq$, nous avons fini. Supposons que chaque centralisateur est d'ordre$q$, l'indice du centralisateur est $pq/q=p$. Chaque élément appartiendrait à une classe d'équivalence de taille$p$, à l'exception de l'élément d'identité.
Un simple calcul de cardinalité montre que $pq= kp+1$, où représente le nombre de classes d'équivalence. Cependant, c'est absurde et par conséquent, tous les sous-groupes d'ordre$q$.