Nombre de carrés entre deux nombres naturels

Question

Étant donné les nombres naturels $m>n\in \mathbb{N}$ combien de carrés sont entre $m$ et $n$? c'est-à-dire combien de nombres naturels$k\in \mathbb{N}$ satisfaire ça $n \leq k^2\leq m$?

Je pense que si nous connaissions la plus grande place $k^2=s\leq m$ et la plus petite place $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, alors le nombre de carrés que je recherche serait $k-\tilde{k}+1$, mais y a-t-il un moyen simple de trouver ces carrés? Je serais d'accord avec des limites qui sont des fonctions de la taille$m-n$.

Answer 1

Le nombre de carrés entre deux nombres naturels $m$ et $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

Preuve: Let$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ où $a$ est le plus petit nombre naturel dont le carré est supérieur ou égal à $n$ et $a+s$ est le plus grand nombre naturel dont le carré est inférieur ou égal à m.

Maintenant, à partir d'une simple observation, $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ et $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ et le nombre de carrés entre les deux nombres naturels est $s+1$.