Nombre de façons dont 3 boules rouges identiques et 3 boules blanches identiques peuvent être réparties entre 3 boîtes distinctes, aucune boîte n'est vide?

Aug 18 2020

Comme mentionné dans le titre, nous devons calculer le nombre de façons dont 3 boules rouges identiques et 3 boules blanches identiques peuvent être réparties entre 3 boîtes distinctes de sorte qu'aucune boîte ne soit vide.

Il y a eu quelques questions similaires posées, mais aucune ne répond complètement à cette question particulière (à ma connaissance).

J'ai essayé d'aborder cela en faisant quelques cas, qui ont finalement fonctionné. Mais je n'ai pas pu créer une approche générale pour, disons n objets identiques d'un type et m objets identiques d'un autre type dans p cases différentes.

Réponses

2 ChristianBlatter Aug 18 2020 at 17:12

Au début nous avons $6$boules blanches. Nous pouvons avoir$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, ou $\{2,2,2\}$ balles dans les boîtes, avec $3$, $6$, $1$ordres différents dans les trois cas. Nous peignons maintenant trois des six boules en rouge. dans le$\{4,1,1\}$ cas, nous pouvons peindre trois des $4$ rouge ($1$ façon), deux des $4$ rouge ($2$ manières), ou l'un des $4$ rouge ($1$façon); fait du$4$façons. dans le$\{3,2,1\}$ cas, nous pouvons peindre les trois $3$ rouge ($1$ façon), deux des trois rouges ($2$ manières), l'un des $3$ rouge ($2$ manières), ou aucun des $3$ rouge ($1$façon); fait du$6$façons. dans le$\{2,2,2\}$ cas que nous pouvons faire $2$ et $1$ boules rouges dans différentes cases ($6$ manières) ou une boule rouge dans chaque case ($1$façon); fait du$7$ façons.

En tout, il y a $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ différentes distributions admissibles.

1 ȘtefanDumitrescu Aug 18 2020 at 13:47

Cas A. 4 balles dans la première case.

  1. Dans la boîte, nous pouvons trouver 3 boules rouges et 1 blanche ou 3 boules blanches et 1 rouge. Cela signifie exactement un arranjament pour la deuxième et la troisième case. Sous-total: 2 permutations
  2. Dans la boîte, nous pouvons trouver 2 boules rouges et 2 boules blanches. Cela signifie deux arrangements possibles pour la deuxième et la troisième case. Sous-total: 2 permutations
    Total: 4 permutations

Cas B. 3 balles dans la première case.

  1. 3 rouges ou 3 blancs. Cela signifie 2 arranjaments dans les autres cases. Sous-total: 4 permutations
  2. 2 rouges + 1 blanc ou 1 rouge + 2 blancs. Cela signifie 4 arranjaments possibles dans les autres cases. Sous-total: 8 permutations
    Total: 12 permutations

Cas C. 2 balles dans la première case.

  1. 2 rouges ou 2 blancs. Cela signifie 6 arranjaments possibles dans les autres cases. Sous-total: 12 permutations
  2. 1 rouge et 1 blanc. Cela signifie 7 arranjaments possibles dans les autres cases. Sous-total: 7 permutations
    Total: 19 permutations

Cas D. 1 balle dans la première case. Un seul moyen: 1 rouge ou 1 blanc. Cela signifie 10 arranjaments possibles dans les autres cases.
Total: 20 permutations

Conclusion: 4 + 12 + 19 + 20 = 55permutations possibles.