nombre entre parenthèses vs nombre couvrant

Question

Je veux juste vérifier si le lemme de la page 9 de ces diapositives est correct :http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Lemme:$N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

Preuve : Si$f$est dans le$2\epsilon$-support$[l,u]$, alors il est dans la boule de rayon$\epsilon$autour de$(l+u)/2$.

Je pense que la preuve signifie que, si un ensemble de$2\epsilon$-couvre-supports$\cal F$, alors cet ensemble est aussi un ensemble de boules de rayon$\epsilon$qui peut couvrir$\cal F$. Puisqu'il peut y avoir d'autres ensembles de boules de rayon$\epsilon$qui peut couvrir$\cal F$, le numéro de couverture n'est pas plus grand que le numéro de parenthèse.

Je n'ai trouvé la même conclusion dans aucun manuel que je puisse trouver jusqu'à présent (je ne sais pas si c'est parce que cette conclusion est beaucoup trop triviale), donc je ne suis pas tout à fait sûr de dire si c'est vrai ou faux. J'apprécierais vraiment si quelqu'un peut m'éclairer !!

Answer 1

Votre élaboration est essentiellement correcte, sauf que les crochets eux-mêmes ne sont pas$\|\cdot\|$-des balles.

Si$[l,u]$est un$2\epsilon$-support, alors il est contenu dans le$\|\cdot\|$-boule de rayon$\epsilon$centré sur$(l+u)/2$, puisque$l \le f \le u$implique$$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Ainsi une couverture de$2\epsilon$-les supports peuvent être remplacés par un couvercle de plus grande taille$\epsilon$-$\|\cdot\|$- boules de même cardinalité.