$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ où $\gamma$ est l'ellipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Question

$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ où le contour $\gamma$ est l'ellipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ traversé dans le sens des aiguilles d'une montre.

Ma difficulté est de savoir comment traduire la formule de l'ellipse en chemin analytique. pour le cercle c'est facile ($e^{zi}$), mais je ne sais pas comment faire pour ellipse.

Answer 1

$$ z(t) = 2 \cos t + i3 \sin t$$

Explication:

$$ z(t) = x(t) + i y(t)$$

Maintenant, pour l'ellipse pour un paramétrage trignométrique: $x=2 \cos t$ $y=3 \sin t$, branchez la même chose dans la fonction complexe de $t$

Answer 2

Oubliez le paramétrage explicite de $\gamma$, utilisez simplement le théorème de Stoke . En particulier, utilisez la version indiquée en coordonnées complexes.

Laisser $E$ être l'ellipse délimitée par $\gamma$. Depuis$\gamma$ Se promène $E$ dans le sens des aiguilles d'une montre, il est "négatif" par rapport à l'orientation de $\partial E$, la limite de l'ellipse. Appliquez le théorème de Stoke en coordonnées complexes, nous avons

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = \int_{-\partial E}(2z - 3\bar{z} + 1) dz = -\int_E d(2z - 3\bar{z} + 1) \wedge dz\\ = 3\int_E d\bar{z} \wedge dz = 6i \int_E \frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i}$$ En termes de coordonnées cartésiennes,

$$\frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i} = \frac{d(x-iy) \wedge d(x+iy)}{2i} = dx \wedge dy$$est simplement l'élément de zone. Depuis l'ellipse$E$ a des axes semi-majeurs / mineurs $3$ et $2$, nous avons:

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = 6i\verb/Area/(E) = 6i(6\pi) = 36\pi i$$

A titre de comparaison, refaisons le calcul en coordiantes cartésiennes.

Nous pouvons paramétrer $E$ comme

$$[0,2\pi] \ni \theta\quad\mapsto\quad (x,y) = (2\cos\theta,\color{red}{-}3\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$$

Depuis $\gamma$ Se promène $E$ dans le sens des aiguilles d'une montre, le signe devant $\sin\theta$est négatif au lieu de positif. Branchez-les dans l'intégrale d'origine, cela devient

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} (2(2\cos\theta - 3\sin\theta i) - 3(2\cos\theta + 3\sin\theta i) + 1)(-2\sin\theta - 3\cos\theta i) d\theta\\ = &\int_0^{2\pi} -(2 + 41\cos\theta)\sin\theta + (30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta - 3\cos\theta)i d\theta\end{align}$$ Rejetant les termes qui ne contribuent clairement pas, nous obtenons

$$\begin{align}\int_\gamma(2z - 3\bar{z} +1 )dz &= i\int_0^{2\pi}(30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta)d\theta\\ &= i(30\pi + 6\pi) = 36\pi i\end{align} $$ Même nombre $36\pi i$ nous avons obtenu avant.