Où s'arrête l'intégration ?

Question

im nouveau aux intégrales. Je résous$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$mais je reçois une mauvaise réponse:$$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$La bonne réponse devrait être :$$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Voici mon essai complet :$$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Pouvez-vous me corriger et me donner une source d'apprentissage?

Merci d'avance!

Answer 1

Vous avez raison jusqu'à (et y compris) l'étape :

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Vous appliquez à tort le fait que

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Remarquez qu'il doit être${1+x^2}$- pas ${1+ax^2}$. Au lieu de cela, vous devriez alors faire la substitution${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$pour obtenir

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Comme demandé.

Answer 2

Donné,$$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Nous savons que,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Alors,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$Ici,$a=1$et$u=\frac{x}{\sqrt3}$et$du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

c'est à dire,$dx={\sqrt3}du$

Donc, notre réponse souhaitée est,

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Rebrancher notre substitution dans les rendements intégraux

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Il nous reste donc maintenant

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Puisqu'il s'agit d'une intégrale indéfinie, nous devons écrire notre réponse en termes de x. En repensant à notre substitution et à notre réorganisation pour thêta, nous arrivons à notre réponse finale :

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Votre problème réside dans l'égalité finale. Si$F(x)$est un primitif de$f(x)$, et si$c\ne0$, alors une primitive de$f(cx)$sera$\frac1cF(cx)$. Alors, depuis$\arctan(x)$est un primitif de$\frac1{1+x^2}$, une primitive de$\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$sera$\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Remplaçant$x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$