PDE homogène, changement de variable
J'ai un PDE $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ homogène pour $\xi$, où $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ est fonction de $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, qui à leur tour sont des fonctions de $\xi$ (donc, $\dfrac{df}{d \xi}$ est un dérivé total).
j'ai aussi $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, où $y,z\in\mathbb{R}$, et on a dit qu'une fois que la PDE est homogène en $\xi$ j'ai $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
J'ai raté cet écart. J'imagine que je peux multiplier le premier ODE par$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, donc
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
Mais je ne suis pas sûr. En effet, je voudrais savoir comment déclarer cela uniquement à partir du fait d'homogénéité.
Merci beaucoup.
Connexes: égalité entre deux dérivés totaux
Réponses
Suppose que $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ et $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ est une fonction de $n$variables. En disant ça$x_i=x_i(\xi)$, puis $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, puis $C$ est un objet dimensionnel dans $\textbf{R}^n$ et donc $C$ est une courbe de $\textbf{R}^n$. ensuite $$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ est le dérivé de $f$ allong $C$ (ou dérivée totale de $f$ le long de la courbe $C$). Vous avez également l'équation: $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ Si $\xi=u y$, puis $\frac{d\xi}{dy}=u$. Par conséquent $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ Cela répond à votre première question sur le changement des variables.
À propos de l'homogénicité
Toutefois, si $f$ est une fonction homogène alors nous avons encore plus
Si la fonction $f$ est homogène de degré $\lambda$. Puis réglage$x_i=uy_i$ dans l'équation (1) nous avons, (sachant que $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ et $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ sont homogènes ie $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ et $(ux_1)=ux_1$ de degré 1): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (C'est parce que quand $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ est homogène de degré $\lambda$, puis $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ est homogène de degré $\lambda-1$ c'est à dire $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). Par conséquent, quand$\lambda=1$, alors (3) devient: $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ Donc si $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ est homogène de degré 1, alors l'équation (1) est PDE homogène (invariante sous toute transformation de variables de la forme $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).