$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ et multiplication par $2$
Je veux calculer le groupe fondamental du plan projectif réel $\text{P}^2(\mathbb{R})$ en utilisant le théorème SVK.
À cette fin, je choisis de modéliser $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ comme disque d'unité $\{x:\|x\|\leq 1\}$ dans $\mathbb{R}^2$ quotienté en identifiant les points antipodaux situés sur la frontière.
Je prends
- $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
- $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, où $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
- $A\cap B$
qui sont tous connectés au chemin.
Maintenant, corrige un point $x_0 \in A\cap B.$
$A$ peut être rectracté par déformation pour $S^1$, pour que $A \approx S^1$ et $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ La rétraction $r_A:A \to S^1$ induit un isomorphisme $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ qui est donné par $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ pour chaque boucle $\lambda$ dans $A.$
Si j'appelle $c$ la boucle correspondant à $1 \in \mathbb{Z}$ sous l'isomorphisme, j'ai l'égalité $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; la déformation, donnant un chemin$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ de $x_0$ à $r(x_0),$ donne également une présentation $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, où nous pouvons maintenant voir le générateur comme une boucle avec des points de terminaison $x_0$ au lieu de $r(x_0).$
D'autre part, $B$ peut être contracté à $\{x_0\},$ alors $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$
Enfin, choisir un autre cercle $S^1_{x_0}$ passant par $x_0$, Je me rétracte $A \cap B$ à lui pour que $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$
L'inclusion $A \cap B \subset B$ induit un morphisme $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ qui ne peut être que la carte triviale envoyant tout au chemin constant à $x_0.$
Ensuite, l'inclusion $A \cap B \subset A$ induit un morphisme de groupes $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ donné par $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ pour chaque boucle $\ell$ dans $A \cap B$ avec des points de terminaison $x_0.$
Je veux comprendre comment prouver que la carte $a_*$ comme défini ci-dessus doit être la multiplication par deux $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
Réponses
Le morphisme $a_*$ prend une boucle $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ et l'envoie à la boucle correspondante dans $\pi_1(A,x_0),$ qui, puisque la carte est induite par l'inclusion, est juste $[\ell]_A$, (c'est à dire $\ell$ homotopie modulo dans $A$).
Maintenant on voit $[\ell]_A$ à l'intérieur $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ par l'isomorphisme $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, et nous avons $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ parce que sur la frontière les points antipodaux sont identifiés, et donc nous faisons deux fois le tour du cercle externe comme $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (ici les classes d'équivalence sont des points en $S^1$).
Retourner à $\pi_1(A,x_0)$ on a $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ et nous concluons.
Laisser $i:S^1\to D^2$ être l'inclusion de la frontière et $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ la projection canonique.
En particulier, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ facteurs à travers $\partial$ (et donc à travers $A$, mais l'inclusion $\partial \to A$est une équivalence d'homotopie); appelons$\alpha :S^1\to\partial$ la carte que nous obtenons.
Nous savons que $\partial \cong S^1$, alors quelle carte est $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?
Eh bien, vous avez le schéma commutatif suivant:
$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$
où la carte $\partial \to P^2(\mathbb R)$est l'inclusion. Si nous identifions$\partial \cong S^1$, la carte $S^1\to S^1$ est simplement $z\mapsto z^2$: c'est un calcul explicite que vous pouvez faire. Il est peut-être plus facile de définir$\partial$ de cette façon, et vérifiez que vous obtenez la même chose.
Je pense que c'est peut-être le point principal qui n'était pas clair pour vous, alors si ce n'est toujours pas le cas, n'hésitez pas à me le dire.
En particulier, $\alpha_*=$ multiplication par $2$.
Mais aussi, $i$ est homotopique à l'inclusion de $S^1$ dans un cercle plus petit $D^2$, et donc $p\circ i$ est homotope à un homéomorphisme $S^1\to S^1_{x_0}$.
Vous avez donc le diagramme commutatif d'homotopie suivant:
$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$
Prise $\pi_1$, depuis $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ est un isomorphisme et $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ est la multiplication par $2$, on a enfin ça $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ est la multiplication par $2$.
(techniquement, vous pourriez avoir à vous soucier des points de base: il y a au moins deux façons de traiter cela ici: 1- notez que tous les groupes fondamentaux impliqués sont abéliens, et donc cela ne change rien; ou 2- faites le même raisonnement mais avec des groupoïdes fondamentaux, et à la fin réparer les choses)
L'idée de base est la suivante, je pense que je vais effectuer une preuve similaire à la vôtre, alors soyez indulgents avec moi.
Comme vous l'avez fait, considérez le plan projectif $X$ et prenez un point $x_0$dedans. ensuite$U = X\smallsetminus x_0$ la déformation se rétracte dans la sphère.
Prends une petite balle $V$ autour $x_0$, pour que $V\cap U$ également la déformation se rétracte dans une sphère.
Maintenant pour $V\cap U$, vous n'aurez identifié aucun point limite, mais en $U$, à la sphère limite, vous les identifierez. Cela a pour conséquence suivante que vous pouvez former un diagramme commutatif
$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$
où la carte verticale est de degré $2$. Essentiellement, il enverra une boucle génératrice dans$U\cap V$qui s'enroule une fois autour de la limite à un qui s'enroulera deux fois autour de la limite de$U$, car là-dedans vous aurez identifié des points antipodaux.
Ajouter. Si vous voulez être plus précis, notez que la boucle génératrice pour$U$ peut être considérée comme une boucle dans le disque de l'unité qui dessine une demi-lune, allant de $-1$ à $1$ dans une ligne presque droite manquant l'origine et ensuite à travers l'arc Cela permet de voir facilement que la boucle génératrice pour $U\cap V$ représentera deux fois la boucle précédente dans $U$.