Pour décrire géométriquement un trivecteur invariant en dimension 8
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$Laisser $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, et laissez $R$ désignent la représentation bidimensionnelle naturelle de $G$ dans ${\Bbb C}^2$. Pour un entier$p\ge 0$, écrivez $R_p=S^p R$; ensuite$R_1=R$ et $\dim R_p=p+1$.
En utilisant le tableau 5 du livre d'Onishchik et Vinberg, j'ai calculé que la représentation $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$contient la représentation triviale avec la multiplicité un. J'ai utilisé la table comme une boîte noire.
Question. Laisser$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$désignent le sous-espace unidimensionnel correspondant. Comment peut-on décrire$V$comme un sous-espace géométriquement ?
Motivation: je souhaite envisager une$\operatorname{PGL}(2,k)$-fixector corrigé $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ de l'espace vectoriel à 8 dimensions $W=R_2\oplus R_4$ sur un champ $k$ de caractéristique 0, puis tordre tout cela à l'aide d'un galois-cocycle de $\operatorname{PGL}(2,k)$. Pour cela, j'ai besoin d'une description géométrique de$V$.
N'hésitez pas à ajouter / modifier des balises!
Réponses
Voici une autre interprétation très agréable (mais toujours algébrique) qui explique une partie de la géométrie: rappelez-vous que $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ a un $2$-à-$1$ représentation en $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ de sorte que l'algèbre de Lie se divise en $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ où ${\frak{m}}$ est le ($5$-dimensionnel) complément orthogonal de ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ en utilisant la forme de mise à mort de ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$. Noter que${\frak{m}}$ est un irréductible ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-module, et que chaque élément $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ peut être écrit uniquement comme $x = x_0 + x_1$ avec $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ et $x_1\in{\frak{m}}$. Notez également que$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$.
Ceci définit l'appariement souhaité ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: Envoyer $(x_0,y_1,z_1)$ à $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$. Bien sûr, cela rend le$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-invariance de l'appariement évidente.
Pour une construction purement géométrique, voir ci-dessous, après les considérations algébriques suivantes.
Il existe un isomorphisme wronskien qui, comme cas particulier, dit que la seconde puissance extérieure de $R_4$ est isométrique à la deuxième puissance symétrique de $R_3$. Donc l'invariant en question est$I(Q,C)$, un invariant conjoint dans un quadratique binaire $Q$ et un cube binaire $C$, qui est linéaire dans $Q$ et quadratique en $C$. Ceci est en effet unique à l'échelle et est donné en notation symbolique classique (voir, par exemple, Grace et Young) par$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ où $Q=a_{x}^{2}$ et $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$.
Une autre construction est de partir du discriminant binaire, et de le polariser pour obtenir une forme bilinéaire (l'unique invariant sur $R_2$), et appliquez cette forme bilinéaire à $Q$ et le Hessian de $C$.
Si l'on ne veut pas utiliser l'isomorphisme wronskien alors l'invariant serait $J(Q,F_1,F_2)$, trilinéaire dans le quadratique $Q$ et les deux quartiques binaires $F_1,F_2$. Ce serait satisy l'antisymétrie$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ et serait donné sous forme symbolique par $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ où maintenant $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, et $F_2=c_{x}^{4}$.
Construction géométrique:
Considérer $\mathbb{P}^1$ incorporé par Veronese comme une conique $\mathscr{C}$ dans $\mathbb{P}^2$. Un quadratique binaire$Q$ correspond à un point dans $\mathbb{P}^2$. Un cube binaire$C$ correspond à un diviseur ou à une collection non ordonnée de trois points $\{P_1,P_2,P_3\}$ au $\mathscr{C}$. Laisser$T_1, T_2, T_3$ être les tangentes à la conique à $P_1,P_2,P_3$. Considérez les points d'intersection$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$. Ils sont alignés et définissent ainsi une ligne$L$. La disparition de l'invariant$I(Q,C)$ détecte la situation où le point $Q$ est en ligne $L$. Je ne me souviens pas si le résultat de colinéarité que j'ai mentionné a un nom, mais c'est un cas dégénéré du théorème de Pascal.