Pour l'ergodicité, quelle est la signification de la valeur R et de la pente?

Question

Je calcule les TMS pour la première fois et j'ai du mal à trouver des ressources de niveau débutant pour les comprendre. Si quelqu'un pouvait suggérer des ressources ou fournir des conseils sur la façon d'interpréter les résultats de TMS, je vous serais reconnaissant.

J'ai exécuté des simulations NPT pour collecter des données à utiliser dans des simulations de dynamique des fluides. Cependant, je me rends compte maintenant que j'ai utilisé des températures basses par rapport à des gens qui ont regardé des systèmes similaires. Je veux donc évaluer les TMS pour m'assurer que les simulations sont ergodiques.

• Je n'ai pas beaucoup d'expérience avec les statistiques et un point fondamental que je ne comprends pas est de savoir si c'est la pente du MSD ou la valeur R qui compte . Ou les deux.

• Un exemple de MSD que j'ai calculé est ci-dessous. J'obtiens cette sortie (je ne peux pas contrôler l'intervalle de temps utilisé, le logiciel le choisit):

Linear regression interval 41.52 - 83.03 ps.
MSD(t) = -10806.283111 + 1575.888517 * t
R = 0.977891

Lorsque je calcule une pente sur l'intervalle 1 ps jusqu'à l'endroit où la courbe devient verticale , j'obtiens ~ 0,8 , ce qui, je le sais, n'est pas génial. Je ne sais pas quelle serait une valeur acceptable, mais je suppose> 0,9. J'obtiens 0,95 si je calcule la pente non pas à partir de 1 ps, mais à partir de 10 ps . Mais sur un graphique log-log, c'est un petit intervalle. Est-il trop petit?

Answer 1

Brève introduction à l'ergodicité

• L'ergodicité est lorsque la moyenne temporelle est égale à la moyenne d'ensemble.
  
• Un processus est ergodique si la moyenne temporelle "converge dans la moyenne carrée" vers la moyenne d'ensemble.
• Une séquence $X_t$ converge dans la moyenne carrée vers$X$ si:

$$ \tag{1} \lim_{t\rightarrow \infty}\langle \left|X_t - X\right|^2 \rangle = 0, $$

où $\langle x \rangle$ signifie la moyenne (moyenne) de $x$. Donc, si la moyenne du carré de la différence absolue entre la moyenne temporelle et la moyenne d'ensemble (c'est-à-dire le MSD entre eux) s'approche de zéro, alors on peut dire que le processus est ergodique.

Brève introduction à la diffusion généralisée

Si nous traçons MSD$(t)$ avec MSD sur l'axe vertical et $t$ sur l'axe horizontal et ajustez les données à une forme de loi de puissance:

$$ \tag{2} \textrm{MSD}(t) = Dt^\alpha, $$

où $D$est la constante de diffusion, et$\alpha$est l' exposant de diffusion généralisé :

• la diffusion normale est caractérisée par$\alpha=1$, signifiant MSD$(t)$ est linéaire.
• la sous-diffusion est caractérisée par$0<\alpha<1$, signifiant MSD$(t)$ est sous-linéaire.
• la super-diffusion se caractérise par$\alpha>1$, signifiant MSD$(t)$ est super-linéaire.

Brève introduction à la régression statistique

Le coefficient de détermination est donné par$R^2$et est une mesure de la «qualité de l'ajustement». Plus précisément, lorsque vous ajustez une ligne ou une courbe sur des données, dans quelle mesure cette ligne ou cette courbe prédisent-elles les données? Si$R^2 = 1$ alors les données sont parfaitement prédites par votre ligne ou courbe ajustée.

Application à votre cas

"Je ne comprends pas si c'est la pente du MSD ou la valeur R qui compte. Ou les deux."

Vous pouvez tracer votre MSD$(t)$et ajustez les données à Eq. 2, ce qui vous donnera un$\alpha$, qui vous dira quel type de diffusion vous avez. Mais puisque vous avez choisi de faire un tracé log-log, Eq. 2 doit être modifié en conséquence:

\begin{align} \tag{3} \log\textrm{MSD}(t) &= \frac{\alpha \log D}{\log 10} \log(t), \\ y &= m x, ~~~ m \equiv\alpha\left(\frac{ \log D}{\log 10}\right). \tag{4} \end{align}

Pente: Eq. 4 nous dit qu'une très grande pente peut être indicative d'une super-diffusion, et une très petite pente peut être indicative d'une sous-diffusion.

$R$-valeur: Votre$R$ la valeur implique une $R^2$ de 0,956, ce qui signifie que dans la zone où vous avez effectué l'ajustement (41,52 - 83,03 ps), les données sont assez linéaires (pourraient être plus linéaires mais pourraient être bien pires).