Pour montrer que l'intégrale $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ converge et est inférieur ou égal à $n^{3/2}\pi$ [dupliquer]

Dec 10 2020

Considérons un polynôme $p \in \mathbb{R}[x]$ de diplôme $n$et sans vraies racines. Prouve-le$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$converge et est inférieur ou égal à $n^{3/2}\pi$

Mon approche

Maintenant, laisse $x_1, x_2, \dots, x_n$ être les racines de $p$. Par Cauchy-Schwarz

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

Je ne sais pas quoi faire ensuite. Si je me trompe, veuillez fournir une réponse détaillée dans la section réponse. J'ai montré ce à quoi j'ai pensé ou ce que j'ai fait.

Quelqu'un peut-il confirmer si mon processus de réflexion est correct?

Juste un rappel ... Cette question est restée sans réponse depuis longtemps

Merci.

Réponses

HenryLee Dec 11 2020 at 01:33

Tout d'abord, nous pouvons définir: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$


Maintenant par le théorème multinomial: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ À partir de là, vous devriez être en mesure de trouver une expression pour: $p_n^2$ et $p_n'^2$.


Maintenant, notez également que d'après ce que nous savons (car il n'y a pas de vraies racines): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ nous savons que: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ et il est donc clair que: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$