Pour un entier positif $n\geq 2$ avec diviseurs $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, prouve-le $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Question

OMI 2002 P4 Let $n\geq 2$ être un entier positif avec des diviseurs $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. Prouve-le$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ est toujours inférieur à $n^2$, et déterminez quand il s'agit d'un diviseur de $n^2$

J'essaye cette question mais je suis à court d'idées, quelqu'un pourrait-il donner un petit indice ou une suggestion? S'il vous plaît, sans me donner la solution.

J'essaie d'utiliser le fait que le produit de $d_i$*$d_{i+1}$ est un diviseur de $n^2$ (et ils sont tous différents) et essayez peut-être d'utiliser la formule de la somme des diviseurs pour voir si cette somme spécifique est inférieure à $n^2$

Answer 1

Astuce 1: quelle taille peut $d_{k-1}$ être en fonction de $n$? Qu'en est-il de$d_{k-2}$?

Indice 2: laissez $p$ être le plus petit facteur premier de $n$. Que pouvez-vous dire sur$d_{k-1}$ en terme de $n,p$? Quel est le plus grand diviseur (propre) de$n^2$?

Answer 2

Depuis $d$ est un diviseur de $n$ si et seulement si $n/d$ est, nous avons $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {depuis $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\droite]$}$$

Pour la deuxième partie, laissez $n$ être composite et $p$ être le plus petit facteur premier de $n$. Ensuite nous avons$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ Maintenant si $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ est un diviseur de $n$ alors nous devons avoir $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. Mais$p>\frac{n^2}{N}$ est une contradiction puisque $p$ est le plus petit diviseur premier de $n^2$. Donc$N\mid n^2$ si et seulement si $n$ est un premier.