Pourquoi ce système ne peut-il pas être correctement représenté à l'aide d'une fonction de transfert de domaine z?
Selon cette question et réponse, le système suivant ne peut pas être correctement capturé par une fonction de transfert de transformée en z.
$$y[n] = y[n-1] + F_{\psi}(y[n-1)) + F_{\phi}(x[n-1])$$ où $F_{\alpha}(z)$ est un filtre passe-haut du premier ordre de la forme $$F_{\alpha}(z) = \frac{\alpha (1 -z^{-1})}{1-\alpha z^{-1}} $$
La réponse déclare que
Le problème est qu'il y a une annulation de pole-zero qui s'est glissée juste à côté de moi et de tout le monde. C'est évident dans le côté gauche de (1), où la dérivée de yk est le sujet de l'équation.
Donc, la raison pour laquelle vous ne pouvez pas résoudre ce problème comme indiqué en utilisant le théorème de la valeur finale est que vous ne pouvez pas représenter correctement le système en utilisant une fonction de transfert. Il peut y avoir un moyen de sauvegarder cela dans la notation de la fonction de transfert, mais j'ai juste essayé et échoué à la première étape, donc je vais le faire dans l'espace d'états
Quelles limites de la transformation en z (ou d'autres) nécessitent que ce système soit analysé à l'aide de méthodes alternatives? Quelles caractéristiques des systèmes posent en général la même difficulté et pourquoi?
Réponses
Une fonction de transfert décrit un système LTI. En tant que tel, le système donné peut être décrit par une fonction de transfert. Cependant, s'il y a des conditions initiales non nulles, le système n'est plus linéaire car il y a une contribution dans la sortie qui ne dépend pas du signal d'entrée mais uniquement des conditions initiales. Par conséquent, la fonction de transfert ne peut pas être directement utilisée pour calculer la réponse du système s'il y a des conditions initiales non nulles.
Néanmoins, le (unilatéral) $\mathcal{Z}$-transform peut toujours être utilisé pour calculer la réponse du système, même avec des conditions initiales non nulles en transformant l'équation de différence et en utilisant
$$\mathcal{Z}\big\{ y[n-k]\big\}=z^{-k}Y(z)+\sum_{m=0}^{k-1}z^{-m}y[m-k],\qquad k>0\tag{1}$$
EXEMPLE: Utilisons un exemple simple avec une annulation de pôle zéro similaire à celle du problème d'origine pour illustrer ce point. Considérons un système décrit par
$$y[n]-y[n-1]=\alpha \big(x[n]-x[n-1]\big)\tag{2}$$
La fonction de transfert correspondante est
$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\alpha(1-z^{-1})}{1-z^{-1}}=\alpha\tag{3}$$
Clairement, $y[n]=\alpha x[n]$ est une solution de $(2)$. C'est aussi la seule solution si l'on exige que le système soit linéaire. Cependant, ce n'est pas la seule solution si l'on autorise les systèmes non linéaires car il existe une infinité de solutions de la forme
$$y[n]=\alpha x[n]+c\tag{4}$$
avec une constante arbitraire $c$. Notez que ces solutions ne peuvent pas être déduites de la fonction de transfert$(3)$.
Utilisons maintenant le $\mathcal{Z}$-transformer pour résoudre $(2)$ aux conditions initiales $y[-1]\neq 0$ et $x[-1]=0$. Transformer$(2)$ en utilisant $(1)$ donne
$$Y(z)(1-z^{-1})-y[-1]=\alpha X(z)(1-z^{-1})$$
ce qui se traduit par ce qui suit $\mathcal{Z}$-transformation de la sortie:
$$Y(z)=\alpha X(z)+\frac{y[-1]}{1-z^{-1}}\tag{5}$$
Dans le domaine temporel cela devient
$$y[n]=\alpha x[n]+y[-1]u[n]\tag{6}$$
où $u[n]$est le pas unitaire. Eq.$(6)$ est juste une version causale de $(4)$.
Cela montre que le $\mathcal{Z}$-transform peut être utilisé pour calculer la réponse du système avec des conditions initiales non nulles, même si la fonction de transfert seule est inadéquate pour résoudre le problème.