Pourquoi est-ce que $i\epsilon$-prescription nécessaire dans le propagateur de Klein-Gordon?

Dec 27 2020

Lors de l'évaluation du propagateur de Klein-Gordon, dans le livre de P&S , p. 31, je vois que, il est de coutume de décaler les pôles et d'ajouter$i\epsilon$dans le dénominateur. Je ne comprends pas pourquoi c'est nécessaire. Pourquoi ne pouvons-nous pas simplement utiliser une analyse complexe? Quel est le problème dans les étapes suivantes?

\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}

Qu'est-ce qui ne va pas en procédant de cette façon? Ne pouvons-nous pas simplement faire l'intégration$p^0$ comme cela se fait pour le $z$-variable? Évidemment,$a$ sera fonction de $\vec{p}$ et $m$.

Réponses

6 kaylimekay Dec 27 2020 at 20:37

Notez que l'intégrale d'origine que vous essayez de calculer se trouve sur la ligne réelle et non sur un contour fermé, de sorte que le théorème de Cauchy ne s'applique pas tant que vous n'avez pas trouvé un moyen approprié de fermer le contour. En raison de la présence du facteur exponentiel$e^{ibz}$, comme vous l'avez écrit, on peut fermer le contour dans le demi-plan supérieur si $\mathrm{Re}\, b>0$. Supposons que ce soit le cas. Maintenant, vos deux pôles sont en fait sur la ligne réelle, nous devons donc également spécifier de quel côté les contourner. Puisque vous fermez le contour ci-dessus et que vous ramassez les deux résidus, vous sous-entendez que vous passez sous ces deux pôles. Si vous passiez au-dessus d'eux, ils seraient en dehors de votre contour et ne contribueraient pas. Puisque vous passez sous vos deux pôles, nous pourrions décrire de manière équivalente ce que vous avez fait en disant que les deux pôles sont décalés vers le haut sur le plan complexe d'une quantité infinitésimale.$+i\epsilon$. Cela garantirait que vous passiez en dessous d'eux lorsque vous intégrez le long de l'axe réel. Vous voyez donc que vous avez également inclus$\epsilon$s dans votre calcul aussi, même si vous ne l'avez pas reconnu.

Pour les calculs en QFT, il existe une prescription physique correcte pour savoir comment contourner les pôles, qui s'appelle la prescription de Feynman, et diffère de ce que vous avez fait ci-dessus. Ceci est bien couvert dans P&S.