Pourquoi le temps total est-il égal à $ N \cdot {T}_{s} $ et pas $ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s} $ Dans le contexte de DFT?
Dans les définitions de la DFT
DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
Disons, si nous avons $10$ points, $N=10$, chacun échantillonné à $0.2$ secondes, pourquoi le temps total utilisé pour calculer la résolution de fréquence est-il égal à $$ \frac{1}{N\Delta t } $$
où $k$ courra de $0, 1, 2, \ldots , 9$.
Si le premier point était à zéro, le temps échantillonné sera à $0.2$, et le dernier point échantillonné sera à $$0.2\cdot (N-1)= 0.2\cdot 9 = \mathbf{1.8 \ \rm s}$$
Au contraire, le temps total est égal à $0.2\cdot N= 0.2\cdot 10=\mathbf{2.0 \ \rm s}$ dans le pas de fréquence.
PS: J'ai vu la requête et la discussion Comment mesurer la durée?
Ici $\Delta t = 0.1 \ \mathrm{s}, N= 11 (\text{Eleven data points}), k= N-1$; Donc
$$\text{total signal duration} = k\cdot \Delta t = (11-1)\cdot \Delta t= 1 \ \text{second}$$
Cela concorde avec le $10 \rm \ Hz$taux d'échantillonnage , c'est-à-dire$10$ les points ont été collectés dans $1 \ \text{second}$ et le $11^{th}$ point appartenait au cycle suivant.
Réponses
Vous avez raison, la durée associée à la prise$N$des échantillons uniformes d'un signal sont
$$ D = (N-1) \cdot T_s$$
où $T_s$est la période d'échantillonnage .
Un exemple concret suffit; assumez votre période d'échantillonnage$T_s$ dure 1 heure et vous souhaitez prélever 3 échantillons d'un processus à évolution lente, comme la hauteur d'une pointe d'iceberg pendant sa fonte.
Votre premier échantillon est prélevé à $t=0$(le processus d'échantillonnage électronique lui-même prend environ une micro seconde ou moins, alors ignorez-le par rapport à une heure de période d'échantillonnage!). Ensuite, votre deuxième échantillon arrive à$1$ heure plus tard et votre troisième (et dernier) échantillon arrive à $2$ Des heures après.
D'où votre $3$ prélève de longues prises d'observation $D = (3-1) \cdot 1 = 2$des heures. Dès que vous prenez votre dernier (troisième) échantillon, vous arrêtez le système d'échantillonnage. Vous n'attendez plus une heure (un autre intervalle d'échantillonnage) après avoir prélevé votre dernier échantillon.
Et cette méthodologie de calcul est exactement à égalité avec le calcul des distances dans les structures de réseau cristallin. Quelle est la distance entre N atomes? Quelle est la longueur totale de N atomes (régulièrement placés sur la dimension X)?
Néanmoins, dans la littérature, vous pouvez trouver des expressions impliquant $D = N \cdot T_s$. Certaines applications peuvent exiger cela; c'est-à-dire que le traitement du signal basé sur les blocs, la DFT, la conversion de la fréquence d'échantillonnage utilisent un tel point de vue, qui est justifié dans leur traitement des blocs de données les uns après les autres.
Pour comprendre pourquoi $D = N \cdot T_s$peut être utilisé dans l'analyse DFT, considérons l'exemple suivant. Supposons que vous disposez d'un ensemble de données long, tel que$4 \cdot N$ échantillons, divisés en 4 blocs de $N$échantillons; c'est-à-dire que vous aurez 4 blocs de$N$échantillons chacun. Les blocs sont adjacents, leurs ordres d'échantillon sont (1, N), (N + 1,2N), (2N + 1,3N), (3N + 1,4N). L'échantillon$N+1$appartient au deuxième bloc, mais la durée du premier bloc est mesurée à partir de l'échantillon 1 jusqu'à l'échantillon N + 1. Car, la durée entre les échantillons N et N + 1 appartient au premier bloc, et cela explique pourquoi la durée de ce bloc est prise comme$D = N \cdot T_s$. Cependant, pour le dernier bloc d'échantillons (3N + 1,4N), la durée sera$(N-1)\cdot Ts$, car il n'y a plus de blocs adjacents.
Dernier point mais non le moindre, c'est un sujet de débat. :-)
La raison est très simple dans le contexte du DFT et du théorème d'échantillonnage.
Dans ce contexte, la durée de l'échantillonnage correspond à peu près à la durée que vous connaissez parfaitement et que vous êtes capable de reconstruire sous l'hypothèse d'un échantillonnage approprié.
Pour les signaux discrets, dans le contexte de la DFT, le modèle concerne les signaux périodiques. Par conséquent, le dernier échantillon vous donne la connaissance de l'intervalle de temps$ \left[ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s}, N \cdot {T}_{s} \right] $ depuis le prochain échantillon, au moment $ N \cdot {T}_{s} $est connu. Il s'agit de l'échantillonnage au temps 0.