Pourquoi n'y a-t-il pas de champ avec un élément? [dupliquer]
Cela a été demandé ici mais marqué comme réponse et je n'ai pas l'impression que la question ait jamais été répondue, ou du moins ne m'était pas claire.
Je ne comprends pas pourquoi l'ensemble constitué uniquement de l'élément $\{0\}$ avec l'habituel $+$ et $×$ ne satisfait pas aux critères, car $0$ agit à la fois comme identité additive et multiplicative.
Autrement dit, laisser $G = \{0\}$, puis
$∀ g ∈ G, 0+g = g$ et
$∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Puisque $0·0 = 0$ )
De même, c'est à la fois son propre inverse additif et multiplicatif. Quel est le problème au seul niveau du champ, sans souhaiter qu'il satisfasse certaines propriétés supplémentaires pour la théorie des catégories ou la géométrie algébrique / arithmétique?
Réponses
Alors, passons en revue: $(F,+,\cdot,0,1)$ est un champ si
- $(F,+,0)$ est un groupe abélien
- $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ est un groupe abélien
Ce qui se passe si $0 = 1$ et $F$le singleton contient-il cet élément? Alors cette dernière caractéristique n'est pas satisfaite, car$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$pourtant tous les groupes ne sont pas vides par hypothèse. (À savoir, les axiomes de groupe impliquent l'existence d'un élément en lui, l'élément d'identité, donc un groupe est toujours non vide.)
Laisser $K := \{0\}$. ensuite$K \setminus \{0\}$ ne peut pas être un groupe multiplicatif, car il n'y a aucun élément d'identité qui y est contenu.