Pourquoi ne pas remplacer très grand $n$ dans $(1+1/n)^n$ donner des valeurs approchant le nombre d'Euler $e$?

Aug 18 2020

Je voudrais demander quel est le nombre d'Euler $e$? Je ne comprends pas.

Ce que je sais:

  • $e$ est $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ comme $n$ atteint l'infini

  • $e$ est $2.718281828\ldots$

Question:

Si j'entre $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Je reçois $2.718523496\ldots$, qui est supérieur à $2.718281828\ldots$.

Si je continue et entre $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Je reçois $3.035035207\ldots$ ce qui est bien plus élevé que $2.718281828\ldots$.

Je pense que j'ai raté quelque chose ou j'ai fait une erreur.

Ai-je mal compris la formule? Est-ce que la formule et le$2.718281828$ ci-dessus seulement une approximation?

J'apprécierais vraiment toute explication, clarification et corrections. :)

Merci beaucoup pour votre temps!

Réponses

3 AnginaSeng Aug 19 2020 at 02:17

Voici une analyse des erreurs. Si$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ puis $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Pour les grands $n$, $\ln a_n$ est très proche de $$1-\frac1{2n}$$ et donc $a_n$ est près de $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ En fait, le $1/(8n^2)$ terme ici est faux car j'ai négligé le $1/(3n^2)$ terme dans l'expansion de $\ln a_n$. Mais une estimation grossière de$a_n$ est-ce $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ L'erreur est légèrement pire que $1/n$.

Prise $n=10^{12}$ dis, tu te débrouilles $11$ à $12$corriger les décimales. L'erreur que vous obtenez avec la calculatrice est sans doute due au manque de précision de sa représentation des nombres à virgule flottante. Probablement sous-jacent .

RossMillikan Aug 19 2020 at 02:54

Les mathématiques en virgule flottante dans un ordinateur ne sont pas les mêmes que les calculs mathématiques réels. À l'époque où nous avons utilisé$32$ peu flotte, ce qui a seulement donné $23$ morceaux de mantisse, environ $7.2$les chiffres décimaux, c'était un problème qui préoccupait tout le monde et de grandes sections des cours d'analyse numérique se concentraient sur l'évitement des problèmes de précision numérique. Maintenant que les flotteurs sont$64$ bits avec $53$bits de mantisse le problème a été considérablement réduit, mais il peut toujours avoir un problème. Lorsque vous augmentez à une très petite puissance, vous pouvez penser$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ et étendre $\log(1+\frac 1n)$ dans une série Taylor.