Pouvez $\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$ être généré par seulement deux éléments?

Question

Laisser $\mathbb{Q}(x,y)$ être le champ des fonctions rationnelles dans les variables $x, y$ avec des coefficients rationnels, et considérons son sous-champ $K=\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$. Existe-t-il$p, q \in K$ tel que $K=\mathbb{Q}(p,q)$? Si la réponse est positive, pouvez-vous trouver explicitement ces deux éléments?

Cette question a été posée par reuns dans sa remarquable réponse à mon précédent post https://math.stackexchange.com/questions/3902911/subextensions-of-finitely-generated-fields. Si je devais suivre mon intuition, je parierais que la réponse est négative, mais je n'ai aucune idée d'une possible preuve. Toute aide est la bienvenue.

Answer 1

On a $K={\bf Q}(x,y)$.

Car $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ pour que $xy\in K$ et $x=(x^3+xy(x+y))/((x+y)^2-xy)$.