Pouvons-nous avoir un mouvement chaotique en raison de la précision finie de nos calculs? [dupliquer]
Je comprends que le mouvement chaotique signifie que de très petites perturbations dans la condition de départ initiale peuvent conduire à des trajectoires très différentes dans l'espace des phases. Pour cette raison, nous ne pouvons jamais prédire le mouvement avec précision, car nous ne pouvons jamais avoir des conditions initiales précises à 100%.
Peut-on regarder l'incapacité à prédire les états futurs d'une manière différente, liée à la précision de nos calculs (effectués sur ordinateur)? Existe-t-il des situations dans lesquelles nous pouvons connaître les conditions initiales avec une précision de 100%, mais ne pouvons toujours faire confiance à aucun des mouvements prédits, car le mouvement dépend de la précision des calculs intermédiaires, qui, étant effectués sur un ordinateur, sont finis et donc pas parfaitement précis?
Par exemple, si je devais calculer une intégrale numérique comme étape vers une réponse finale, si mon intégrale était une précision informatique à 16 virgule flottante vs 32 virgule flottante, cela correspondrait à une différence au seizième chiffre significatif, qui pourrait alors être suffisante pour induire un comportement très différent dans les trajectoires ultérieures.
Nous pourrions imaginer un cas où, quelle que soit la précision de vos calculs, une précision supplémentaire dans les calculs entraînerait une divergence chaotique de la trajectoire. Ce phénomène est-il connu et existe-t-il des exemples?
Réponses
La question du titre est un peu différente de celle dans le corps du message, alors regardons-les séparément:
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Pouvons-nous avoir un mouvement chaotique en raison de la précision finie de nos calculs?
Oui, Lorenz lui-même a décrit le phénomène en l'appelant chaos informatique [Lorenz 1989]:
Lorsqu'on cherche des solutions approchées d'un ensemble d'équations différentielles par intégration numérique pas à pas, le choix d'un incrément de temps $\tau$ [...] peuvent donner des solutions chaotiques, même lorsque les vraies solutions approchent des cycles limites ou des points fixes.
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ne peut faire confiance à aucun des mouvements prédits [?]
Au moins pour les systèmes hyperboliques, oui, vous pouvez leur faire confiance. Ce qui vous couvre est le soi-disant théorème d'ombrage , qui garantit que, même si vous ne simulez pas la vraie trajectoire de la condition initiale que vous avez choisie, il y a un point initial légèrement différent dont la trajectoire reste arbitrairement proche de celle générée par ordinateur. trajectoire. Vérifiez également cette réponse .
[Lorenz 1989] Chaos informatique - un prélude à l'instabilité computationnelle , Physica D 35 (3), 1989, pages 299-317.
Oui, il est tout à fait possible que les erreurs d'arrondi dues à l'arithmétique à précision finie puissent affecter considérablement le résultat des simulations informatiques de systèmes non linéaires. En fait, l'un des pionniers de la théorie moderne du chaos, Edward Lorenz , a été inspiré pour étudier les systèmes chaotiques lorsqu'il a rencontré ce problème. Lorenz exécutait une simulation météorologique impliquant des équations différentielles non linéaires sur un ordinateur numérique ancien. Lorsqu'il a essayé de reproduire un scénario en entrant des valeurs initiales avec trois décimales de précision, il a constaté que la réexécution divergeait très rapidement de la sortie originale. L'étude de la cause de ce comportement surprenant, que Lorenz a décrit plus tard comme l' effet papillon , a conduit à la découverte de l' attracteur de Lorenz .