Pouvons-nous définir $z^{\frac{1}{2}}$ comme fonction holomorphe sur $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Considérer $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Nous pouvons voir que, par exemple, $z^{\frac{1}{2}}$ peut être définie comme une fonction holomorphe proche de $z=\frac{1}{2}$, en chossing un tout petit quartier de $z=\frac{1}{2}$, et définissez un $arg(z)$ pour que ça continue là-bas.

Ma question: peut $z^{\frac{1}{2}}$ être considérée comme une fonction holomorphe sur $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Ici$D$ est le disque de l'unité dans $\mathbb{C}$.

Par fonction holomorphe, j'entends qu'une carte$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ satisfait l'équation de Cauchy-Riemann sur $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Comme indiqué ci - dessous , nous voyons que la réponse à ma question est négative. Je voudrais examiner la question connexe supplémentaire suivante:

Une question supplémentaire : question similaire mais cette fois on considère le domaine$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, pour un tout petit $\epsilon$.

Answer 1

Non, ce n'est pas possible. Cette fonction serait bornée dans un quartier perforé de$0$, ce qui ferait $0$ une singularité amovible de $z^{\frac{1}{2}}$. Mais alors$0$ serait aussi une singularité amovible du dérivé $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, qui ne peut pas avoir de singularité amovible à $0$ car il n'est pas délimité dans un quartier crevé.