Pouvons-nous garantir qu'il existe un $\epsilon' > 0$ telle que vaut cette inégalité?

Question

J'essaye actuellement de prouver la loi de limite multiplicative:

laisser $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ être des séquences convergentes de nombres réels, et $X, Y$ soyez les vrais nombres $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ et $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$

Depuis les deux $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ et $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ sont convergents vers X et Y respectivement, nous savons que $|a_n - X| \leq \epsilon'$ et $|b_n - Y| \leq \delta$.

Nous savons aussi, par un lemme que nous avons prouvé plus tôt dans le livre, que $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.

C'est parfait, car je peux l'utiliser pour montrer que $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ pour certains arbitres $\epsilon > 0$, tant que je montre qu'il existe $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ et qu'il existe des $0 < \delta < 1$ tel que $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$

Je pourrais prouver la première partie en utilisant la propriété archimédienne des réels, mais je ne suis pas si sûr de la seconde partie. La deuxième partie donne l'impression que cela devrait fonctionner puisque nous pouvons choisir un arbitrairement petit$\delta$, mais je ne peux pas le prouver. Est-ce que je fais quelque chose de mal? est-il possible de changer un peu cette preuve pour qu'elle fonctionne?

Answer 1

Si $a_n \to a, b_n \to b$ alors il y en a $M$ tel que $|a|,|b_n| \le M$.

ensuite $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.

Choisissez maintenant $N$ assez grand pour que $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.