Preuve qu'une fonction est convexe si et seulement si elle remplit cette condition?

Nov 19 2020

Comment prouver qu'une fonction f: R-> R est convexe si et seulement si dom (f) est convexe et pour chaque a, b, c dans son domaine qui sont $a<b<c$, nous avons:

Déterminant de la matrice: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ f(a) & f(b) &f(c) \end{vmatrix}\ge 0. $$

Le déterminant est:

$$ bf(c)-cf(b)+cf(a)-af(c)+af(b)‐bf(a) >= 0$$

Ensuite:

$$ f(a)(c-b) + f(b)(a-c) + f(c)(b-a) >=0$$

Alors selon a <b <c, on peut dire:

$$ f(a)(c-b) + f(c)(b-a) >= f(b)(c-a)$$ [édité]

Donc je suis allé jusqu'ici mais je ne sais pas comment relier cela à l'inégalité de Jensen pour prouver que f est convexe.

Réponses

1 MostafaAyaz Nov 19 2020 at 20:59

Vous n'avez presque plus besoin d'étapes pour aller plus loin. La définition de la convexité d'une fonction comprend les éléments suivants:$$ f(\theta x+(1-\theta)y)\le \theta f(x)+(1-\theta)f(y) $$ Maintenant, essayez de réorganiser la dernière inégalité obtenue avec $x=a$, $y=c$ et un bon choix de $\theta$.