Preuve que l'on peut trouver des nombres rationnels arbitrairement proches de $\sqrt{2}$: approche directe. [dupliquer]

Question

L'énoncé de la proposition:

Proposition . Pour chaque nombre rationnel$\epsilon > 0$, il existe un nombre rationnel non négatif $x$ tel que $x^{2} < 2 < (x+\epsilon)^2$.

L'approche la plus courante pour prouver la proposition consiste à utiliser la contradiction ( 1 , 2 ).

Ma question est: est-il possible de prouver la proposition directement? Plus concrètement, est-il possible de trouver une fonction$f: \mathbb Q^+\rightarrow \mathbb Q^+$ tel que pour un rationnel positif arbitraire $\epsilon$, nous avons

$$f(\epsilon)^2 < 2 < (f(\epsilon) + \epsilon)^2 $$

?

Answer 1

Définir $f(\varepsilon)$ être la troncature de $\sqrt{2}$ à $n$ décimales, où $10^{-n} \leq \varepsilon$ est la puissance la plus proche de $10$ par le bas.

Cela garantit que $$f(\varepsilon) < \sqrt{2} < f(\varepsilon) + 10^{-n} \leq f(\varepsilon) + \varepsilon$$

Pour illustrer, si $\varepsilon=0.2$ puis $n=1$ et l'inégalité se lit $$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \leq 1.6$$

Answer 2

Prendre $$\epsilon\left\lfloor\frac{\sqrt2}\epsilon\right\rfloor.$$ Ce rationnel est inférieur à $\epsilon$ loin de $\sqrt2$.

Answer 3

En utilisant le fait qu'entre deux nombres réels, il existe un nombre rationnel, étant donné tout rationnel$\varepsilon$ tel que $4\sqrt{2}>\varepsilon>0, \exists x \in \mathbb{Q}$ tel que $x \in (\sqrt{2} - \frac{\varepsilon}{2}, \sqrt{2})$, qui donne: $x^2 < 2$ et $(x+\varepsilon)^2 > 2.$