Preuve que si la différence de termes de deux séquences convergentes est nulle, alors la limite des séquences est égale

Aug 16 2020

Proposition: étant donné que les séquences réelles $\{a_n\}$ et $\{b_n\}$ sont convergents, et que $\{a_n - b_n \}$ est une séquence nulle, alors $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

C'était ma tentative:

Dénoter $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ et $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Supposer$m \neq n$. Supposer$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Par la convergence de$\{a_n\}$ et $\{b_n\}$, et en utilisant la valeur spécifiée de epsilon, pour des $n$ nous avons ça $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, et $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. De cela, nous avons

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

Mais par la densité de $\mathbb{R}$, il en existe $r \in \mathbb{R}$ tel que $a_n - b_n > r$ pour suffisamment grand $n$. Mais cela contredit le fait que$\{a_n - b_n\}$ est une séquence nulle, donc $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Je suis intéressé à voir s'il existe une preuve (et j'espère aussi une vérification que la mienne est correcte!) Qui ne repose pas sur la déduction d'une contradiction en supposant $l \neq m$. Cela semble frustrant comme l'une de ces déclarations «évidentes» que lorsque j'écris dans la logique du premier ordre, j'ai du mal à prouver. En particulier, je ne pouvais pas trouver un moyen de le faire directement.

Réponses

2 BrianM.Scott Aug 16 2020 at 02:41

La preuve par contradiction est vraiment l'approche la plus naturelle ici. L'intuition est simple: si les séquences ont des limites différentes, elles doivent finalement être proches de ces limites et ne peuvent donc pas être proches les unes des autres.

Cela peut être fait un peu plus facilement, cependant. Laisser$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. Il y a un$n_0\in\Bbb N$ tel que $|a_n-\ell|<\epsilon$ et $|b_n-m|<\epsilon$ n'importe quand $n\ge n_0$. Mais alors

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

pour tous $n\ge n_0$, donc

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

pour tous $n\ge n_0$, contredisant l'hypothèse selon laquelle $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ est une séquence nulle.

Votre argument a quelques problèmes. Premièrement, vous semblez supposer que$\ell>m$; il n'y a pas de réelle perte de généralité si vous faites cette hypothèse, mais vous devez au moins dire que vous la faites. Vous supposez aussi apparemment à la fin que$a_n-b_n$est positif, ce qui n’est pas forcément le cas. Enfin, et c'est le plus important, vous n'avez en fait donné aucune justification à l'affirmation qu'il existe un réel$r$ tel que $a_n-b_n>r$ pour suffisamment grand $n$: c'est en fait vrai pour $|a_n-b_n|$ et certains positifs $r$, mais cela n'a rien à voir avec la densité de $\Bbb R$.