Probabilité de sélectionner une main de poker

Aug 18 2020

J'essaie de résoudre un problème de probabilité concernant la main de poker à cinq cartes. J'ai accès à la réponse qui est différente de ce que j'avais trouvé. La question est:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?

Ma réponse à cette question était la suivante: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Ce qui signifie:

  1. Sélectionnez d'abord un numéro de carte puis sélectionnez ses deux couleurs ie. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Ce seront les deux cartes de même valeur.
  2. Sélectionnez trois autres cartes qui ne sont pas dupliquées comme: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.

La bonne réponse ne correspond pas à ma réponse. Cette réponse est fournie dans le livre AOPS et se présente comme suit:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.

Alors la question est, qu'est-ce que je fais de mal? Merci

Réponses

2 user Aug 18 2020 at 20:42

Par règle de produit , après le premier numéro de carte sélectionné et ses deux couleurs, il faut sélectionner$3$ cartes avec $3$ différentes valeurs qui est $\binom{12}{3}$ puis pour chacun, nous pouvons choisir parmi quatre costumes qui $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Par votre méthode les sélections$\binom{48}{1}$ et les deux autres suivants sont faux parce que vous les surcomptez (par exemple $3,5,8$ serait différent de $5,3,8$). Par conséquent, pour compter, vous devez diviser par$3!=6$.

3 tommik Aug 18 2020 at 20:43

la solution de votre livre est correcte. Expliquons le bon brainstorming.

Pour obtenir exactement une paire sur 5 tirages, vous avez:

  • 13 choix pour choisir la paire {AA, 22,33, ...}

  • pour chaque paire que vous avez $\binom{4}{2}$ choix pour choisir le costume: coeurs, diamants, clubs ou pique

  • pour les 3 autres tirages que vous avez $\binom{12}{3}$ choix de différentes cartes

  • pour chacun des choix précédents que vous avez $4^3$ choix pour le costume: coeurs, diamants, clubs ou pique

  • multipliez tous les points précédents.

$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$

3 N.F.Taussig Aug 18 2020 at 20:44

Supposons que vous sélectionniez la main $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Votre méthode compte cette main$3! = 6$ fois, selon l'ordre dans lequel vous sélectionnez les trois singletons.

L'ordre dans lequel les trois singletons sont sélectionnés n'a pas d'importance, c'est pourquoi la bonne réponse sélectionne trois rangs à partir desquels une seule carte est tirée, puis sélectionne une carte de chacun de ces rangs.

Observe ceci $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$

3 ȘtefanDumitrescu Aug 18 2020 at 20:55

Nombre de cas possibles: $ c_p = \binom{52}{5} $.

Nombre de cas favorables:

Choisissez la première suite de cartes: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Notez que le premier binôme est utilisé pour choisir un numéro de carte, et le second pour choisir deux symboles sur quatre.

Choisissez la suite de trois cartes distinctes: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Notez que le premier binôme permet de choisir trois cartes, et le second de ne choisir qu'un seul symbole pour chacune des trois cartes.

Résultat: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$

Dans votre solution, les trois derniers binômes peuvent fournir une suite de trois cartes identiques, car vous choisissez simplement des cartes, pas des symboles.

2 FormulaWriter Aug 18 2020 at 20:43

Vous et le livre comptez différemment comment sélectionner les trois cartes restantes. Votre réponse est:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ La réponse du livre est: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Ils diffèrent par un $3!$facteur, qui est précisément le nombre de permutations de trois objets distincts. Cela suggère que vous considérez l'ordre des trois cartes restantes.