Probabilité de sélectionner une main de poker
J'essaie de résoudre un problème de probabilité concernant la main de poker à cinq cartes. J'ai accès à la réponse qui est différente de ce que j'avais trouvé. La question est:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
Ma réponse à cette question était la suivante: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Ce qui signifie:
- Sélectionnez d'abord un numéro de carte puis sélectionnez ses deux couleurs ie. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Ce seront les deux cartes de même valeur.
- Sélectionnez trois autres cartes qui ne sont pas dupliquées comme: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.
La bonne réponse ne correspond pas à ma réponse. Cette réponse est fournie dans le livre AOPS et se présente comme suit:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
Alors la question est, qu'est-ce que je fais de mal? Merci
Réponses
Par règle de produit , après le premier numéro de carte sélectionné et ses deux couleurs, il faut sélectionner$3$ cartes avec $3$ différentes valeurs qui est $\binom{12}{3}$ puis pour chacun, nous pouvons choisir parmi quatre costumes qui $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Par votre méthode les sélections$\binom{48}{1}$ et les deux autres suivants sont faux parce que vous les surcomptez (par exemple $3,5,8$ serait différent de $5,3,8$). Par conséquent, pour compter, vous devez diviser par$3!=6$.
la solution de votre livre est correcte. Expliquons le bon brainstorming.
Pour obtenir exactement une paire sur 5 tirages, vous avez:
13 choix pour choisir la paire {AA, 22,33, ...}
pour chaque paire que vous avez $\binom{4}{2}$ choix pour choisir le costume: coeurs, diamants, clubs ou pique
pour les 3 autres tirages que vous avez $\binom{12}{3}$ choix de différentes cartes
pour chacun des choix précédents que vous avez $4^3$ choix pour le costume: coeurs, diamants, clubs ou pique
multipliez tous les points précédents.
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
Supposons que vous sélectionniez la main $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Votre méthode compte cette main$3! = 6$ fois, selon l'ordre dans lequel vous sélectionnez les trois singletons.
L'ordre dans lequel les trois singletons sont sélectionnés n'a pas d'importance, c'est pourquoi la bonne réponse sélectionne trois rangs à partir desquels une seule carte est tirée, puis sélectionne une carte de chacun de ces rangs.
Observe ceci $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
Nombre de cas possibles: $ c_p = \binom{52}{5} $.
Nombre de cas favorables:
Choisissez la première suite de cartes: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Notez que le premier binôme est utilisé pour choisir un numéro de carte, et le second pour choisir deux symboles sur quatre.
Choisissez la suite de trois cartes distinctes: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Notez que le premier binôme permet de choisir trois cartes, et le second de ne choisir qu'un seul symbole pour chacune des trois cartes.
Résultat: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
Dans votre solution, les trois derniers binômes peuvent fournir une suite de trois cartes identiques, car vous choisissez simplement des cartes, pas des symboles.
Vous et le livre comptez différemment comment sélectionner les trois cartes restantes. Votre réponse est:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ La réponse du livre est: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Ils diffèrent par un $3!$facteur, qui est précisément le nombre de permutations de trois objets distincts. Cela suggère que vous considérez l'ordre des trois cartes restantes.