Probabilité que le premier $2$les résultats sont un, étant donné que le résultat trois est le dernier résultat à se produire

Question

Envisagez une séquence sans fin d'essais indépendants, où chaque essai est également susceptible d'aboutir à l'un des résultats$1$,$2$, ou$3$. Étant donné ce résultat$3$est le dernier des trois résultats à se produire, trouvez la probabilité conditionnelle que

1. les deux premiers essais aboutissent tous deux à un résultat de$1$
   

ma tentative: laisser

1. {une$1st$} = événement où le résultat du premier essai est un

2. {une$2nd$} = événement où le résultat du deuxième essai est un

3. {troisième dernier} = événement où le résultat trois se produit après que les résultats un et deux se sont produits.

$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} = \dfrac{P(\text{third last}) \cdot P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})}$ $= P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})$

maintenant, puisque chaque essai est également susceptible d'être soit$1$,$2$, ou$3$et on nous donne que$1^{st}$le procès n'est pas$3$Par conséquent,$P(\text{one 1st}|\text{third last})=0.5$

De même,$P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last}) = 0.5$puisque tous les essais sont indépendants, chaque essai est également susceptible d'être soit$1$,$2$, ou$3$et le résultat du deuxième essai ne peut pas être$3$(depuis le résultat$3$survient après les résultats$1$et$2$se sont produits tous les deux)

Par conséquent,$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) =0.25$, mais la réponse donnée est$\dfrac{1}{6}.$

Qu'ai-je fait de mal?

edit: la réponse donnée (que je comprends) est
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} =\dfrac{P(\text{one 1st})\cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st})\cdot P(\text{third last}|\text{one 2nd}\cap \text{one 1st})}{P(\text{third last})} = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6}$

Answer 1

Il y a des suppositions qui sont fausses.

Par exemple, la séquence$(1,1,3)$n'est pas un événement "avant-dernier" légitime, mais est considéré comme légitime dans votre calcul.

Le premier "un premier|troisième dernier" est correctement calculé pour être$1\over 2$. Cependant, le "une seconde | un premier et un troisième dernier" n'est pas$1\over 2$parce qu'un$2$doit se produire quelque part après la$1$et avant$3$donc étant donné que le premier est$1$et le dernier est$3$, il y a plus de chance qu'un$2$survient au deuxième essai.