Problème avec les angles dirigés dont la somme ${\pi \over 2}$.

Question

Je résolvais une section de mon livre (EGMO Lemma 1.30) où l'auteur discute des utilisations des angles dirigés, quand je suis tombé sur -

Points $A, B, C$ se coucher sur un cercle avec le centre $O$. Montre CA$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.

Permettez-moi de désigner l'angle dirigé avec $\measuredangle$.(partout)

Voici une tentative; l'auteur parle des angles dirigés en bleu, et il faut montrer qu'ils totalisent la moitié$\pi$radians. Les lignes en rouge sont ma propre construction.

Par angles dirigés, nous savons que $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(le théorème de l'angle inscrit).
Et aussi ça$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (Triangle $OAC$ est isocèle).

Maintenant par un théorème des angles dirigés, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Mais après cela, comme nous travaillons modulo $\pi$ radians, il est inintelligible de multiplier ou de diviser par $2$, ce que je dois faire, donc ma tentative a échoué.

Les réponses sont heureusement les bienvenues.

Answer 1

Par angles dirigés, nous savons que $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(le théorème de l'angle inscrit).
Et aussi ça$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (Triangle $OAC$ est isocèle).

Maintenant par un théorème des angles dirigés, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Après cela, nous pouvons écrire $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ et resubstituer $\measuredangle$ $COA$ comme $2\times \measuredangle$ $CBA$

On a, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

ce qui équivaut à écrire comme $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

Divisez les deux côtés par $2$, et continuez pour obtenir $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

D'où prouvé.