Problème concernant la définition du spineur
J'essaie de construire une compréhension simple de ce qu'est un spineur, ce faisant, je suis tombé sur deux définitions différentes de spinor:
Première définition:
si$|\psi\rangle$ est un état générique d'un spin $1/2$ particule alors elle peut être décomposée de la manière suivante:
$$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$
où $|+\rangle,|-\rangle$ sont les états propres de la troisième composante du spin ($S_z$), et $c_+,c_-$sont des nombres complexes. Nous pouvons également écrire ceci comme suit:
$$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$
et sous cette forme, nous préférons généralement écrire $u$ au lieu de $|\psi\rangle$. Ce vecteur 2D représentant l'état de la particule est appelé spineur .
Deuxième définition: étant
donné une particule de spin$1/2$ nous pouvons écrire sa fonction d'onde (pour une raison quelconque) de la manière suivante:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
la fonction d'onde de la particule , écrite de cette manière, est appelée spineur .
Je cherche un pont entre ces deux définitions, ainsi qu'un moyen de supprimer le laid "pour une raison quelconque" de la deuxième déclaration. À ce sujet: dans mes notes de cours est présent ce qui suit: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ cette étape est correcte car il s'agit simplement d'une application de l'opérateur d'identité, mais alors: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ mais de toute façon, si nous prenons (1) pour acquis, nous avons:
$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$
depuis $u_{s_z}$ est bien le vecteur 2D qui est l'état propre de l'opérateur de spin.
Mais j'ai un énorme problème concernant l'équation (1): je ne comprends pas comment nous pouvons prouver que le côté gauche est égal au côté droit. pourquoi y a-t-il$Y(\theta , \phi)$? (où le$Y$ sont bien sûr les harmoniques sphériques, donc les fonctions propres du moment cinétique) $c^{s_z}_{l,m}(r)$ et pourquoi est-ce $r$dépendant? Pourquoi cela apparaît$u_{s_z}$?
Réponses
La 1ère équation: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ est la forme générique de tout état pur dans un système à deux niveaux. L'espace de toutes les paires normées de ($c_+$, $c_-$) s'appellent la sphère de Bloch.
Etant donné qu'il s'applique à n'importe quel système à deux niveaux, il n'élucide pas particulièrement bien la nature physique d'un spineur. En fait, dans de nombreux scénarios d'enseignement, cela peut prêter à confusion. Ceci est dû aux termes «spin-up» et «spin-down». Cela amène les non-initiés à penser que le spin est soit aligné, soit anti-aligné avec la magnitude$\frac 1 2$ (en unités de $\hbar$), ce n'est pas le cas.
Une particule de spin 1/2 a un moment cinétique de
$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$
et les états propres permettent de ne connaître que la projection sur un seul axe, qui est $\frac 1 2$. Cela signifie que dans un$S_z$ état propre, il y a encore:
$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$
unités de moment cinétique qui est également répartie dans le $x-y$avion. Ce fait, ainsi que les relations de commutations:
$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$
et la capacité de quantifier le spin sur n'importe quel axe est essentielle pour comprendre les spineurs.
En bref, vous pouvez écrire les coefficients comme:
$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$
et, tandis que toute paire de ($\theta,\phi$) représente une superposition dans la base d'origine, c'est un état de spin up pur lorsqu'il est quantifié le long d'un axe pointant dans le ($\theta, \phi$) direction.
Voilà donc la partie spin d'une fonction d'onde. Si vous écrivez la fonction d'onde de spin sous forme de vecteur de colonne (vos 2e équations) et que vous la combinez avec une fonction d'onde spatiale pondérée, vous obtenez: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ Cela représente une particule, avec une fonction d'onde spatiale et un spin sans enchevêtrement. Dans le cas le plus général, les composants d'espace et de spin peuvent être intriqués, et cela nécessite vos 3èmes équations:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
Ceci est nécessaire pour des systèmes comme l'expérience Stern-Gerlach.
Si nous regardons juste une composante spatiale de la fonction d'onde, par exemple, $\psi_+(\vec x)$, c'est écrit ici en fonction d'un vecteur, $\vec x$. Cela peut être fait en coordonnées cartésiennes:
$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$
d'autres coordonnées, ou ce qui est généralement le plus utile lorsque le moment cinétique est conservé: les coordonnées sphériques. Dans ce cas, la partie angulaire est capturée en harmoniques sphériques, selon cette projection standard dans votre 5ème équation:
$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$
ce que nous voyons dans cette équation est que le moment cinétique orbital ($(l,m)$) couplé à chaque état de spin (selon les règles habituelles d'addition de moment angulaire). Notez que les états propres des nombres quantiques de moment angulaire total ($J^2, J_z$) mélanger différent $(l, m)$ avec spin up et spin down, comme capturé par le $c^{\pm}_{lm}$. C'est le truc standard de Clebsch-Gordan, par exemple:
$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$
Cela représente donc un enchevêtrement du spin et des coordonnées angulaires de sorte que les nombres quantiques de moment angulaire total soient bons.
Quand on voit cela dans, disons, l'atome d'hydrogène, la fonction d'onde radiale est entièrement prise en compte. Votre équation finale, cependant, permet une dépendance radiale dans le$c^{\pm}_{lm}(r)$. Cela introduit un enchevêtrement spatial entre le spin et la coordonnée spatiale dans la direction radiale. (Je ne peux pas penser à un système désinvolte où cela se pose ... car, si vous utilisez des harmoniques sphériques, le problème devrait être séparable en coordonnées sphériques). Néanmoins, elle est la plus fonction d'onde spinoriel générale en coordonnées sphériques.
Addendum: Notez que le $\theta$ et $\phi$ la dépendance à l'ERS de (1) est directement liée à $\vec x$sur le LHS. Ici je vais$\vec r$ pour un vecteur de position 3D, comme $\vec x$ causera de la confusion:
En coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ et la base cartésienne:
$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$
qui est, en coordonnées sphériques $(r, \theta, \phi)$ et la base cartésienne:
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$
Maintenant, nous pouvons passer des vecteurs de base cartésiens aux vecteurs de base sphériques (les vecteurs de base sphériques sont les 3 vecteurs propres de rotations autour de l'axe z, ils ne sont pas les vecteurs de base de coordonnées sphériques ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$, et les comprendre est très utile pour comprendre les opérateurs de spin et de tenseur, etc.):
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
qui peut être réorganisé:
$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
notez que les coefficients angulaires sont les $l=1$ harmoniques sphériques:
$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$
Cette formule peut prendre un certain temps pour s'y habituer. Dans la base sphérique, les harmoniques sphériques sont les coordonnées. C'est étrange, comment une fonction peut-elle être une coordonnée? Eh bien, regardez$Y_1^0(\theta,\phi)$. Sur la sphère unité, il est $z$. bien$z$ est une fonction (c'est un polynôme), de même que $x$ et $y$. Nous utilisons donc des coefficients polynomiaux dans la représentation cartésienne directe, nous ne les considérons généralement pas comme tels, nous les considérons comme des nombres étiquetés.