Problème de comptage concernant le principe de casier généralisé

Question

Dans un jeu, tous les points du plan (x, y) dont les coordonnées obéissent $ x, y \in \mathbb{Z} $ sont étiquetés comme appartenant à l'un des trois joueurs, c'est-à-dire à Alice, Bob ou Carol.

Montrez que l'un des joueurs possédera quatre points dont les sommets forment un rectangle.

Voici le problème auquel je réfléchis depuis des jours. Cela semble facile puisque les coordonnées sont illimitées. Mais il est également difficile de trouver des casiers que je souhaite diviser.

J'ai rencontré plusieurs problèmes comme trouver un parallélogramme sur un $n \times n$ échiquier avec $2n$des pions. C'est relativement plus simple pour moi.

Answer 1

CONSEIL: considérez les points $\langle 0,n\rangle$, $\langle 1,n\rangle$, $\langle 2,n\rangle$, et $\langle 3,n\rangle$ pour $n=0,1,2,\ldots\;$. Imaginez que chaque point est étiqueté$A$, $B$, ou $C$. Ainsi, une ligne peut être étiquetée$ABCA$, un autre pourrait être étiqueté $BCCB$, etc.

• Combien d'étiquettes différentes d'une ligne sont possibles?
• Pourquoi voudriez-vous trouver deux lignes avec le même étiquetage?
• Combien de lignes faut-il pour garantir que vous avez deux lignes avec le même étiquetage?