Problème de convergence presque partout dans la théorie de la mesure

Dec 04 2020

J'ai des problèmes avec le problème suivant

Laisser $(X, \mathcal{F}, \mu)$ un espace de mesure où $\mu (X)<\infty.$ Laisser $f,f_n:X \to \mathbb{C}$être mesurable. Ensemble$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$$a_n>0$ et $a_n \to 0$. Montrez que si$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ puis $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

J'ai beaucoup essayé ce problème. Par exemple, j'ai essayé de montrer que$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ pour tous $\varepsilon>0$ en utilisant des faits comme $\mu(A_n) \to 0$ (parce que la série est convergente) et même en supposant que $(a_n)$pourrait être pris strictement décroissant. Dans ma tentative "de plus près", j'ai montré que chaque$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ est contenu dans une infinité d'ensembles $A_n$. Mais à la fin, cela n'a pas fonctionné.

À chaque tentative que j'ai faite, je pensais que "je suis très très proche de la solution" ... mais quelque chose a échoué.

Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider à résoudre ce problème?

Réponses

4 WhoKnowsWho Dec 04 2020 at 08:35

Observez d'abord que l'ensemble où $f_n$ ne converge pas vers $f$ est mesurable et peut s'écrire $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

Notez maintenant que montrer $f_n\to f$ presque partout équivaut à montrer que $A$ a mesure $0.$ Pour ce faire, nous observons d'abord que $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

Depuis $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ est fini, en choisissant $k$ grand, nous pouvons faire $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$arbitrairement petit. Il s'ensuit que$\mu(A)=0.$