Propriétés du produit scalaire

Question

Je veux prouver ou contredire l'affirmation suivante :

Si on prend deux vecteurs$\mathbf{v}_1$et$\mathbf{v}_2$dans$\mathbb{R}^{d}$($d$n'est pas nécessairement 2, donc les preuves géométriques ne sont pas disponibles) et l'angle entre eux, qui est défini par$\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ce qui suit est valable :

1. Pour tout vecteur$\mathbf{u}$St$\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$si nous dénotons$\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$et$\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$nous aurons$\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. Pour tout vecteur$\mathbf{u}$St$\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$si nous dénotons$\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$et$\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$nous aurons$\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

Je suis assez confiant que ce qui précède est valable, car j'ai exécuté de nombreuses simulations numériques et cela semble tenir, c'est-à-dire que je pense que l'affirmation doit être prouvée et non contredite.

J'ai essayé d'utiliser la définition algébrique du cosinus avec quelques astuces algébriques (inégalité triangulaire, etc.) et cela n'a pas fonctionné, de même avec l'inégalité généralisée du cosinus (pour les vecteurs).

Answer 1

Les deux affirmations sont fausses. Puisque nous pouvons obtenir une revendication de l'autre en remplaçant$u$par$-u$, il suffit de réfuter la première allégation.

Choisissez deux vecteurs linéairement indépendants$u$et$v_1$tel que$v_1^Tu>0$. Laisser$v_2=2v_1$. Alors$v_2^Tu>0$mais$$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$Pour un contre-exemple concret, soit\begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned}Alors$$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$et donc$$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$en perturbant$v_2$légèrement le long d'une direction normale à elle-même, on peut aussi obtenir un contre-exemple dans lequel$v_1$et$v_2$ne sont pas linéairement dépendants.