Prouve-le $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [dupliquer]

Dec 05 2020

J'ai essayé d'utiliser l'induction, mais après avoir supposé que P (n) est vrai, je ne peux pas aller plus loin pour prouver que P (n + 1) est vrai aussi. J'ai aussi essayé de trouver une inégalité intermédiaire, mais je n'arrive pas à comprendre de quelle inégalité je devrais commencer.

Quelque chose qui semblait utile était de prendre P (n) et de le multiplier par $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$, donc j'en suis venu à ça

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

mais, comme tout le monde peut l'imaginer, je suis arrivé à la contradiction parce que j'ai essayé de prouver que $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ ce qui est faux.

Toute aide serait utile.

Réponses

Bumblebee Dec 05 2020 at 03:30

Utiliser le fait $1+x\le e^x$ pour tout vrai $x,$ nous avons $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$Maintenant, utilisez le fait que$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$