Prouve-le $|\sin 1| + |\sin 2| + |\sin 3| +\cdots+ |\sin 3n| > 8n/5$ [dupliquer]
Donc, la question est la suivante:
Prouve-le $\left|\sin 1\right| + \left|\sin 2\right| + \left|\sin 3\right| +\cdots+ \left|\sin 3n\right| > 8n/5.$
J'ai essayé plusieurs approches, y compris l'utilisation de l'expansion de Taylor ou de l'inégalité AM-GM, mais en vain. Ce serait d'une grande aide si ce problème pouvait être prouvé.
Edit: les angles sont en radians, $n$ est un nombre naturel.
Réponses
Lemme: La fonction
$$f(x)=|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+\sin(x+2)|>\frac{8}{5}$$
pour tous $x\in\mathbb{R}$.
Preuve: Il suffit de montrer que l'équation ci-dessus vaut pour $x\in [0,2\pi]$. La fonction est différentiable par morceaux sauf pour
$$x\in \{0,\pi,\pi-1,2\pi-1,\pi-2,2\pi-2,2\pi\}$$
ensuite $f(x)$ peut être réécrit
$$f(x)=\begin{cases} f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 0\leq x\leq \pi-2 \\ f_2(x)=\sin(x)+\sin(x+1)-\sin(x+2) & \pi-2\leq x\leq \pi-1 \\ \vdots \\ f_6(x)=-\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 2\pi-1\leq x\leq 2\pi \end{cases}$$
On peut alors prendre chacun de ces intervalles et prouver $f_i(x)>\frac{8}{5}$. Pour$i=1$, nous avons
$$f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2)$$
$$=-\sin ^2(1) \sin (x)+\sin (x)+\cos ^2(1) \sin (x)+2 \sin (1) \cos (1) \cos (x)+\sin (1) \cos (x)+\cos (1) \sin (x)$$
Notez que
$$f_1(0)=\sin (1)+2 \sin (1) \cos (1)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+2\left(1-\frac{1}{3!}\right)\left(1-\frac{1}{2!}\right)=\frac{5}{3}>\frac{8}{5}$$
$$f_1(\pi-2)=\sin (1)+\sin (2)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+\left(2-\frac{2^3}{3!}+\frac{2^5}{5!}-\frac{2^7}{7!}\right)=\frac{1097}{630}>\frac{8}{5}$$
(nous avons utilisé les extensions de la série Taylor pour obtenir des limites pour $\sin(1),\sin(2)$, et $\cos(1)$). Ainsi, aux extrémités de$[0,\pi-2]$ nous savons $f_1(x)>\frac{8}{5}$. Maintenant, en prenant le dérivé, nous obtenons
$$f_1^{'}(x)=\cos (x)+\cos (x+1)+\cos (x+2)=(1+2 \cos (1)) \cos (x+1)$$
Ceci est facilement résolu et on voit que le seul zéro sur l'intervalle $[0,\pi-2]$ est $x=\frac{\pi }{2}-1$. La dernière étape consiste à reprendre la dérivée une fois de plus:
$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)$$
Depuis
$$\cos(1)>1-\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}>0$$
nous savons
$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)<0$$
pour $x\in [0,\pi-2]$. En mettant tout cela ensemble, nous avons
$$f_1(0)>\frac{8}{5}$$
$$f_1(\pi-2)>\frac{8}{5}$$
$$f_1^{'}(x)\text{ has a single zero on the interval}$$
$$f_1^{''}(x)<0\text{ on the interval}$$
Ces conditions impliquent que $f_1(x)>\frac{8}{5}$ pour tous $x\in[0,\pi-2]$. Les autres cas peuvent être prouvés de la même manière que le$i=1$Cas. Avec cela, le lemme est prouvé.
Théorème: la somme finie
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{8}{5}n$$
Preuve: Par le lemme (avec $x=3i-1$), nous savons que chaque portion de la somme est supérieure à $\frac{8}{5}$. ensuite
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\sum_{i=0}^{n-1}\frac{8}{5}=\frac{8}{5}n$$
et le théorème est prouvé.
EDIT: J'ai inclus cela après avoir fait quelques exemples numériques. Il paraît que
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)=1.9098...$$
Un point, cela ressemble un peu à une somme de Riemann (au moins la fraction devant une somme finie). Deuxième point, si la limite existe vraiment, alors la conjecture est vraie pour tous sauf un nombre fini de$n$ pour tous $x<1.9098...$. Autrement dit, si$x<1.9098...$ alors pour tout sauf un nombre fini de $n$
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>xn$$
Il se trouve que $\frac{8}{5}$n'est pas une limite serrée. En fait, une limite plus étroite qui devrait fonctionner pour tous$n$ est $\frac{42}{25}$. C'est
$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{42}{25}n$$
est vrai pour tous $n$. Prouver cela nécessiterait juste beaucoup plus de termes pour les extensions de la série Taylor de$\sin(1),\cos(1),$ et $\sin(2)$ (ou une autre extension).
EDIT 2: Dernière édition, j'ai réalisé que la limite là-haut (dans EDIT 1) est similaire à une somme de Riemann. Plus précisément
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \bigg(|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+|\sin(x+2)|\bigg)dx=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}=1.90986...$$
c'est vers quoi la limite semblait converger. Il faudrait un peu de finesse (il faudrait probablement utiliser le fait que les nombres naturels sont équidistribués modulo$2\pi$), mais je suis maintenant convaincu que la limite ci-dessus existe vraiment et qu'elle est égale à $\frac{6}{\pi}$.