Prouve ' $X$ est paracompact Hausdorff iff $X\times Y$ est $T_4$ pour tous les Hausdorff compacts $Y$'sans le théorème de Tamano possible?

Question

$X$ est paracompact Hausdorff iff $X\times Y$ est $T_4$ pour tous les Hausdorff compacts $Y$

Pour ce théorème, l'implication directe a une preuve standard, tandis que l'implication inverse est généralement prouvée en utilisant le théorème de Tamano, qui utilise des compactifications.

Cependant, je ne connais pas grand-chose aux compactifications. Donc, je préférerais qu'il y ait une preuve de l'implication inverse de ne pas l'utiliser. J'ai essayé de chercher en ligne, mais en vain. Alors, y a-t-il une telle preuve? Toute aide serait appréciée!

Answer 1

Le lemme 2.5 (et les résultats environnants) font l'essentiel du travail de cet article classique de Morita qui l'a prouvé en premier. Il a utilisé un espace de test compact des ordinaux$W(\omega_\alpha + 1)$et n'utilise pas de compactifications sur un coup d'œil rapide sur la preuve. C'est une généralisation (dans un sens) du résultat de Dowker sur des espaces dénombrables paracompacts.

Si la condition du côté droit est remplie, pour chaque cardinal $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ est $T_4$ ce qui implique que $X$ est $\mathfrak{m}$-paracompact pour tous les cardinaux (c'est dans le papier) (et déjà Hausdorff trivialement). Alors$X$ est la paracompacte Hausdorff.

Cet article de synthèse de 2002 de Noble pourrait également vous intéresser, car il porte sur des questions similaires. Il traite également le théorème de Noble selon lequel si$X$ est $T_1$ et $X^\kappa$ est normal pour tous $\kappa$, puis $X$ est compact.