Prouver l'existence d'une solution pour ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$
Laisser $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ être deux fois différenciable avec $f'' > 0$, et laissez $u_- > u_+$être des nombres réels. Montrer qu'il existe une solution$\varphi(x)$ à l'équation différentielle suivante: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ tel que $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, et où $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.
Ma première tentative est d'observer que ce DE peut être bien intégré à ce qui suit: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Ainsi, il suffit de montrer l'existence d'une solution pour ce DE à la place, où nous sommes libres de choisir $C$. J'ai tenté d'amener RHS à LHS, ce qui donne:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ où $D \in \Bbb{R}$. Ainsi, si nous définissons:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ et en supposant que $g$ est inversible, alors $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ serait une solution pour $(2)$. Cependant, il y a quelques problèmes dans cette approche que nous devons résoudre:
- L'intégrale n'aura pas de sens si $f(\varphi) - s\varphi + C$ disparaît à un moment donné $\Bbb{R}$. Comme nous sommes libres de choisir$C$, si nous pouvons montrer que $f(\varphi) - s\varphi$ est délimité par le haut ou par le bas, alors un tel choix de $C$existera. Je soupçonne que nous pouvons utiliser la convexité et la définition de$s$ pour le prouver, mais mes tentatives sont jusqu'ici vaines.
- Si l'intégrale a du sens, un autre problème est si $g$est inversible. Cependant, cela ne devrait pas être un problème comme par FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ donc si le dénominateur ne disparaît pas, $g'$ est continue et doit donc être strictement positive ou négative, d'où $g$ est strictement monotone, donc inversible.
- Le plus gros problème ici est que cette définition ne garantit pas l'exigence de $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. J'ai essayé de manipuler l'intégrale pour qu'elle corresponde à cette condition, mais en vain jusqu'à présent.
J'ai également essayé d'autres approches, telles que l'utilisation de l'itération de Picard, mais comme ce problème n'est pas vraiment un IVP, elles n'ont pas réussi.
Toute aide est appréciée.
Réponses
Utiliser les limites à $\pm\infty$, nous trouvons $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$voir cet exercice dans Evans PDE. La convexité stricte de$\varphi\mapsto \varphi'$ découle de la convexité stricte $f''>0$ de $f$. Cette propriété donne$\varphi' < 0$ pour $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Donc,$\varphi$ est une fonction décroissante douce, qui décroît de $u_-$ à $u_+$. Pour étudier la stabilité de l'équilibre$\varphi = u_\pm$, on calcule le signe de la dérivée $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ à l'équilibre, qui est négatif à $\varphi = u_+$ et positif à $\varphi = u_-$en raison de la convexité stricte. Donc,$u_+$ est un équilibre attractif et $u_-$est un équilibre répulsif. Depuis le rhs. de l'équation différentielle ci-dessus est non singulière et ne possède pas de racines supplémentaires, toute solution bornée reliera nécessairement les deux valeurs$u_\pm$ grâce à une fonction décroissante douce $\varphi$. L'intégrale dans$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ est singulier aux limites $\varphi = u_\pm$. La convergence de cette intégrale impropre découle de son comportement asymptotique aux bornes.