Prouver l'inégalité de Hölder conditionnelle à l'aide d'une distribution conditionnelle régulière
J'essaye de prouver l'inégalité conditionnelle de Hölder en utilisant des distributions conditionnelles régulières. L'inégalité que j'essaie de prouver est:
Pour $p,q \in (1,\infty)$ avec $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, et pour $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ et $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, et pour $\mathcal F \subset \mathcal A$ Un sous-$\sigma$-algèbre, nous avons presque sûrement $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$
J'ai trouvé beaucoup de preuves de ce fait, mais j'essaie spécifiquement de le prouver en utilisant un théorème de distributions conditionnelles régulières:
Laisser $X$ être une variable aléatoire sur $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ avec des valeurs dans un espace Borel $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ est un sous-$\sigma$-algèbre, et $\kappa_{X,\mathcal F}$ une distribution conditionnelle régulière de $X$ donné $\mathcal F$. De plus, laissez$f : E \to \mathbb R$ être mesurable et $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Ensuite,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ dans \ Omega$}. $$
L'application de l'inégalité de Young, de la monotonie et de la linéarité de l'espérance conditionnelle me donne $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$mais j'ai du mal à arriver d'ici à l'inégalité souhaitée. Alternativement, l'inégalité de Hölder standard nous donne$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, donc le résultat ci-dessus implique également $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Mais ces deux approches m'ont conduit à des arguments circulaires ou à l'utilisation de mesures que je ne pense pas exister formellement (comme $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ pour un fixe $\omega\in\Omega$). Des suggestions ou d'autres endroits à regarder?
Réponses
Laisser $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ être les projections $\pi_1(x,y) = x$ et $\pi_2(x,y) = y$. Après avoir montré$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ par le résultat cité sur les distributions conditionnelles régulières, qui est fini pour ae $\omega\in\Omega$. Alors$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, et de même $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, pour ae $\omega\in\Omega$. Donc, \ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {par le résultat cité sur les distributions conditionnelles régulières;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {par le l'inégalité de Hölder standard appliquée à} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {par le résultat cité et en utilisant les propriétés de mesure d'image de$\kappa_{X,\mathcal F}$ et $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}
Que diriez-vous de commencer par $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$
Si $Z$ est $\mathcal F$ mesurable, alors $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$
Pour éviter les problèmes de zéro et d'infini, appliquez-le d'abord à $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, et de même pour $Y$, puis laissez $\epsilon \to 0+$, et $N \to \infty$.
Bien sûr, lorsque vous faites l'inégalité de Young au début, l'introduction de la distribution conditionnelle régulière est une étape supplémentaire qui ne sert à rien.
Encore une fois, je ne réponds pas à votre question. Mais c'est trop grand pour les commentaires.
Pour prouver l'inégalité du Holder standard, nous utilisons en fait l'inégalité de Young sous cette forme: pour tout $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ d'où vous obtenez $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Ensuite, vous utilisez: si $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Il s'agit simplement de mettre les conditions de l'égalité dans l'inégalité de Young.) En prouvant la forme conditionnelle de l'inégalité de Holder, l'infimum sera repris $\lambda$ un positif $\mathcal F$-fonction mesurable.
Mais ce que cela signifie, c'est que si vous voulez utiliser des distributions régulières conditionnelles, vous devriez vraiment utiliser la forme de l'inégalité de Young que j'ai écrite ci-dessus.